专题6.12 拓展培优8 导数中常见的放缩应用（课件）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

拓展培优8　导数中常见的放缩应用 层级三　攻坚克难抢分点 内容索引 与ex，ln x有关的放缩 类型一 与sin x，cos x，tan x有关的放缩 类型二 专　题　集　训 类型一　与ex，ln x有关的放缩 01 返回 (1)已知数列 的前n项和为Sn，则下列结论正确的是 A．S2 024－1>ln 2 024 B．S2 024－1<ln 2 024 C．ln 2 024<S1 012－1 D．ln 2 024>S2 023 例1 √ (2)已知实数a，b，c满足ea＋c＋e4b－c－1≤a＋4b＋1(其中e为自然对数的底数)，则a2＋b2的最小值是________． 1．对数放缩 (1)放缩成一次函数，如ln x≤x－1，ln(1＋x)≤x； 感悟提升 2．指数放缩 (1)放缩成一次函数，如ex≥x＋1，ex>x，ex≥ex； 3．指对放缩 ex－ln x≥(x＋1)－(x－1)＝2. 感悟提升 针对练1.已知函数f (x)＝2x＋1－ln 2x. (1)求证：∀x>0，f (x)≥2； 因为f (x)＝2x＋1－ln 2x(x>0)， 所以∀x>0，f (x)≥2，即不等式得证． 由(1)知，2x＋1－ln 2x≥2， 返回 02 返回 类型二　与sin x，cos x，tan x有关的放缩 已知函数f (x)＝e－x－cos x，x∈(0，π)，e为自然对数的底数． (1)求证：函数f (x)恰有一个零点； 例2 则h′(x)＝e－x＋cos x>0， 综上，函数f (x)在(0，π)上恰有一个零点． (2)设x0为f (x)的极值点，x1为f (x)的零点，求证：x1－x0< . 参考数据：ln 2≈0.693 1. 因为x0为f (x)的极值点， 所以f ′(x0)＝0，即e－x0＝sin x0. 所以有e－x0<x0，即有x0＋ln x0>0. 因为m(x0)＝x0＋ln x0>0， 常用三角放缩 感悟提升 针对练2.已知函数f (x)＝sin x·tan x. (1)设g(x)＝f (x)＋3cos x且x∈ ，求函数g(x)的最小值； (2)当x∈ 时，求证：f (x)≥x2. 不等式f (x)≥x2等价于f (x)－x2≥0， 返回 专题集训 返回 03 1．已知函数f (x)＝ex－2－x，求证：f (x)> . 只需证明4ex－2－x≥x(x－1)， 设h(x)＝ex－ex，则h′(x)＝ex－e，令h′(x)＝0可得x＝1，当x>1时，h′(x)>0，函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增，当0<x<1时，h′(x)<0， 函数h(x)在(0，1)上单调递减，所以h(x)≥h(1)＝0，所以ex≥ex， 2 3 4 1 2．设函数f (x)＝ln x＋ －1(a∈R)． (1)求函数f (x)的最小值； 所以当x＝1时，f (x)取极小值也是最小值， 所以f (x)min＝f (1)＝0. 2 3 4 1 (2)当x∈(0，1)时，求证：x2＋x－ －1<exln x. 又因为x∈(0，1)，所以只需证ex<(x＋1)2， 2 3 4 1 令h(x)＝ex－(x＋1)2，则h′(x)＝ex－2(x＋1)，令H(x)＝h′(x)＝ex－2(x＋1)，则H′(x)＝ex－2，令H′(x)＝ex－2＝0，得x＝ln 2，当0<x<ln 2时，H′(x)<0，H(x)单调递减，当ln 2<x<1时，H′(x)>0，H(x)单调递增，所以H(x)min＝H(ln 2)＝eln 2－2(ln 2＋1)＝－2ln 2<0，又H(0)＝e0－2＝－1<0，H(1)＝e－4<0，所以x∈(0，1)时，H(x)＝h′(x)<0恒成立，所以h(x)在(0，1)上单调递减， 所以h(x)<h(0)＝0，即h(x)＝ex－(x＋1)2<0，即ex<(x＋1)2成立，即得证． 2 3 4 1 3．已知x为正实数． (1)比较cos x与1－ x2的大小； 所以f ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f ′(0)＝0， 所以f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且f (0)＝0， 2 3 4 1 (2)若ex－1>x＋ax2恒成立，求实数a的取值范围； 令f (x)＝ex－1－x－ax2， 所以ex－1－x－ax2>0在(0，＋∞)上恒成立， 所以f ′(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f ′(x)>f ′(0)＝0， 所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝0， 所以f (x)>0在(0，＋∞)上恒成立，满足