专题3.6 重难突破9 球的切、接、截面问题（课件）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

重难突破9　球的切、接、截面问题 层级二　精准突破保分点 内容索引 球的截面问题 类型一 外接球问题 类型二 专　题　集　训 内切球问题 类型三 类型一　球的截面问题 01 返回 在正三棱锥P-ABC中，Q为BC中点，PA＝ ，AB＝2，过点Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面面积的取值范围为________． 例1 所以PB2＋PA2＝AB2，即PB⊥PA，同理PB⊥PC，PC⊥PA，因此正三棱锥P-ABC可看作正方体的一角，如图．记正方体的体对角线的中点为O，由正方体结构特征可得，点O即是正方体的外接球球心，所以点O也是正三 1．球心到截面圆的距离． 2．截面圆的半径． 3．直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形)．　　 感悟提升 针对练1.设球心O是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体棱的中点作球O的截面，则最小截面的面积为 A．3π B．4π C．5π D．6π √ 针对练2.已知棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为________． 法二：因为正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，球O与该正方体的各个面相切，则球O的半径为1， 设E，F ，G分别为球O与平面ABCD，平面BB1C1C，平面AA1B1B的切点， 2 返回 02 返回 类型二　外接球问题 考向1　墙角模型 (1)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F 分别是PA，AB的中点，∠CEF ＝90°，则球O的体积为 例2 √ 因为点E，F 分别为PA，AB的中点， 3 (2)(2023·山东枣庄二调)已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则S△PAB＋S△PAC＋S△PBC的最大值为______． 8 墙角模型是三棱锥中有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形的一类模型，常用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长．若长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R，则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝ .常见的有以下三种类型： 感悟提升 考向2　对棱相等模型 在三棱锥A-BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，则三棱锥ABCD外接球的表面积为________． 例3 对棱相等模型是三棱锥中三组对棱长分别相等的一类模型，常用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(长方体的长、宽、高分别为a，b，c)，即R2＝ (x2＋y2＋z2)，如图． 感悟提升 考向3　汉堡模型 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为4π，则该三棱柱的侧面积为 例4 √ 汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下， 由对称性可知，球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2的 感悟提升 考向4　垂面模型 已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在球O的球面上，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD且满足AB＝2AD＝2DC＝2，且∠DAB＝ ，SC＝ ，则球O的表面积是 A．5π B．4π C．3π D．2π 例5 √ 2 垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝ ，则R＝ . 感悟提升 考向5　切瓜模型 (2023·山东济宁一模)已知直三棱柱ABC-A1B1C1，D为线段A1B1的中点，E为线段CC1的中点，A1E过△AC1E的内切圆圆心，且AD⊥DC1，CA＝ ，AB＝2，则三棱锥D-ABC的外接球表面积为 例6 √ 2 2 切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥模型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形，在三棱锥A-BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，设三棱锥的高为h，外接球的半径为R，球心为O，△BCD的外心为O1，O1到BC的距离为d，O与O1的距离为m，△BCD和△ABC外接圆的半径分别为r1，r2，则 可得R＝ (l为两个面的交线段长)．　　 感悟提升 √ 2 针对练4.(2023·福建福州模拟)在正四棱台AB