专题1.7 重难突破4 三角形中的特殊线段问题（课件）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

重难突破4　三角形中的特殊线段问题 层级二　精准突破保分点 内容索引 三角形中的中线问题 类型一 三角形中的角平分线问题 类型二 专　题　集　训 三角形中的高线问题 类型三 类型一　三角形中的中线问题 01 返回 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，ccos(B－A)＋ccos C＋2 bsin Acos C＝0. (1)求角C的大小； 例1 因为A，B为三角形内角， 所以0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0， (2)若c＝4，求AB的中线CD长度的最小值． 因为∠ADC＋∠BDC＝π， 1．中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)． 推导过程： 感悟提升 感悟提升 针对练1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝acos C＋ csin A，点M是BC的中点． (1)求角A的大小； 所以sin Acos C＋cos Asin C (2)若a＝ ，求中线AM长度的最大值． 在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝3. 所以b2＋c2≤6.因为AM是BC边上的中线， 返回 02 返回 类型二　 三角形中的角平分线问题 (2023·山东济南一模)已知函数f (x)＝2 sin xcos x＋sin2x－cos2x. (1)求f (x)的单调递减区间； 例2 (2)△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f (A)＝2，b＝3，c＝2，求A的内角平分线AD的长． 法一：三角形面积法： 由题意知，S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 法二：角平分线性质＋向量： 法三：角平分线性质＋余弦定理： 因为BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A， 法四：角平分线定理＋余弦定理(增根取舍)： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对 的边分别为a，b，c. 1．利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD． 感悟提升 针对练2.(2023·福建漳州二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足a＝2cos B(bcos C＋ccos B)． (1)求B； 由正弦定理得sin A＝2cos B(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝2cos Bsin A， (2)已知点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，BD＝2，求a＋c的最 小值． 因为BD是∠ABC的平分线， 返回 类型三　 三角形中的高线问题 03 返回 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos C＝ . (1)求角B的大小； 例3 所以a2＋b2－c2＝2a(a－csin B)， 所以b2＝a2＋c2－2acsin B， 又因为b2＝a2＋c2－2accos B， 所以sin B＝cos B，则tan B＝1. (2)若边AB上的高为 ，求cosC． 2．求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度． 感悟提升 针对练3.(2023·山东济宁一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(c－a)(sin C＋sin A)＝sin B(c－b)． (1)求角A的大小； (c－a)(sin C＋sin A)＝sin B(c－b)，故(c－a)(c＋a)＝b(c－b)， (2)若a＝3，b＝2，求边BC上的高h. 返回 专题集训 返回 04 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC于点D，若asin A＝bsin B＋(c－b)sin C，且AD＝ ，b＝3c，则a＝________． 2 3 4 5 6 1 2 2 3 4 5 6 1 2．在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________． 9 2 3 4 5 6 1 2 2 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 4．(2023·河北邯郸三模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 (2)D为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值． 条件①：CD为∠C的角平分线；条件②：CD为边AB上的中线． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 选择条件①： 在△ABC中，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C， 得a2＋b2－12＝ab， 2 2 3 4 5 6 1