专题1.6 重难突破3 三角形中的最值或范围问题（课件）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

重难突破3　三角形中的最值或范围问题 层级二　精准突破保分点 解三角形问题中的最值或范围问题是每年高考的热点，既有小题也有解答题．常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等． 内容索引 周长(边长)的范围(最值)问题 类型一 面积的范围(最值)问题 类型二 专　题　集　训 类型一　周长(边长)的范围(最值)问题 01 返回 (2023·锡山区校级月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，(2c＋b)cos A＋acos B＝0，且a＝ . (1)求角A的大小； 例1 依题意，(2c＋b)cos A＋acos B＝0， 由正弦定理得(2sin C＋sin B)cos A＋sin Acos B＝0， 2sin Ccos A＋sin Bcos A＋sin Acos B＝0， 2sin Ccos A＋sin(A＋B)＝2sin Ccos A＋sin C＝0， (2)求2b＋c的取值范围． 所以b＝2sin B，c＝2sin C， (2023·安徽阜阳模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆的直径为1，且满足________________． 在下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答问题． ①sin2B＋sin2C＝a2＋bc；②4S＝ (S为△ABC的面积)； ③2b·cos A＝a·cos C＋c·cos A． (1)求A； 例2 所以b2＋c2＝a2＋bc，即b2＋c2－a2＝bc， 选③：由正弦定理可得，2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，即2sin Bcos A＝sin B， (2)求△ABC周长的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 2 2 周长范围(最值)问题的常用解法 1．无约束条件的三角形：利用基本不等式 ，再结合余弦定理求周长取值范围． 2．有约束条件的三角形：利用正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，代入周长(边长)公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长(边长)的取值范围． 感悟提升 针对练1.(2023·广东江门一模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为 所以sin2A＝2sin Bsin C， 因为b>c及a2＝2bc， 所以B>C，角C一定为锐角， 所以2bc＋c2－b2>0， 2 返回 02 返回 类型二　面积的范围(最值)问题 (2023·广东梅州一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 asin B＋bcos A＝2b. (1)求内角A； 例3 因为B∈(0，π)，所以sin B>0， (2)点M是边BC的中点，已知AM＝2，求△ABC面积的最大值． 因为点M是边BC的中点， 对上式两边平方得： 即b2＋c2＋bc＝16， (2023·广东汕头三模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－2bcos A＝b. (1)求证：A＝2B； 例4 证明：因为c－2bcos A＝b，由正弦定理得sin C－2sin Bcos A＝sin B， 又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)－2sin Bcos A＝sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝sin B， 所以A－B＝B，即A＝2B． (2)若A的角平分线交BC于D，且c＝2，求△ABD面积的取值范围． 由(1)可知，A＝2B，所以在△ABD中，∠ABC＝∠BAD， 又因为△ABC为锐角三角形， 面积的范围(最值)问题的常见求解策略 1．利用基本不等式ab≤ ，再代入面积公式． 2．利用正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围．　　 感悟提升 2 针对练2.(2023·湖南张家界高三模拟)记△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin(B＋C)＝b(sin B－sin C)＋csin C． (1)求A； 由asin(B＋C)＝b(sin B－sin C)＋csin C， 得asin A＝bsin B＋(c－b)sin C， 由正弦定理，得a2＝b2＋(c－b)c＝b2＋c2－bc， (2)若a＝2 ，求△ABC的面积的最大值． 所以b2＋c2－20＝bc, 因为b2＋c2≥2bc， 所以b2＋c2－20＝bc≥2bc－20， 返回 专题集训 返回 03 1．(2023·湖南怀化模拟)从①a2＋c2－b2＝ac，②2