专题9.3 向量的数量积运算（五个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第二册）

专题9.3向量的数量积运算 知识点1向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 知识点2向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 知识点3向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 知识点4向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 知识点5数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 重难点1数量积的定义及运算律 【例1】已知向量，满足，，则（    ） A． B．2 C． D．4 【例2】已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（    ） A． B． C． D．1 【变式1-1】已知等边三角形边长为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知向量与的夹角为，且，，则 . 【变式1-3】已知向量，的夹角为，，且向量与垂直，则实数（    ） A．2 B． C． D．2 向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 重难点2向量的模 【例3】已知向量，满足，，，则 . 【例4】已知向量，满足，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】已知向量满足，则 . 【变式2-2】已知向量满足，则 . 【变式2-3】已知向量满足，则的取值范围是 ． 求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. 重难点3向量的夹角 【例5】已知向量，，，，则与的夹角为 ． 【例6】已知，其中是夹角为的单位向量． (1)求； (2)求与夹角的余弦值． 【变式3-1】已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知单位向量的夹角为，向量，若，则 .（写出一个可能值） 【变式3-3】单位向量，满足. (1)求与夹角的余弦值： (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 重难点4向量的投影向量 【例7】己知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例8】已知，，与同向的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（    ） A．60° B．120° C．135° D．150° 【变式4-1】已知，且与的夹角为，为与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量为 . 【变式4-2】已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为 . 【变式4-3】已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 重难点5平面几何的数量积运算 【例9】如图，在平行四边形中，，，，点满足，则与夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【例10】在菱形中，，的中点分别为，．已知，，则 ． 【变式5-1】设四边形为矩形，，，若点，满足，，则（    ） A．28 B．32 C．36 D．40 【变式5-2】在中，，，若点G是的重心，则 . 【变式5-3】如图，在平行四边形中，，令，. (1)用表示，，； (2)若，且，求. 一般将参与数量积运算的向量利用线性运算转化成已知向量（夹角可知） 1．关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 2．已知，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．已知两个单位向量满足，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 5．（多选）设非零向量，满足，，则（    ） A． B