2024年中考数学复习 勾股定理与翻折问题 同步练

勾股定理与翻折问题 例．如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，将矩形ABCD翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为MN．若DEDC，则tan∠AMN＝　 　． 分析：先根据勾股定理求出DM，再判断出BN＝CF，FN＝BC＝8，再判断出△MDE∽△EFN，得出比例式，进而求出EF，可得AN＝DF＝DE+EF＝4+6＝10，即可得出结论． 解：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝12， ∵DEDC， ∴DE＝4， 设DM＝x，则AM＝AD﹣DM＝8﹣x， 由折叠知，ME＝AM＝8﹣x， 根据勾股定理得，DM2+DE2＝ME2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， ∴x＝3， ∴DM＝3， ∴AM＝8﹣3＝5， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝∠C＝∠B＝90°， 过点N作NF⊥CD于F，则∠EFN＝90°＝∠B＝∠C， ∴四边形BCFN是矩形， ∴BN＝CF，FN＝BC＝8， ∵∠D＝90°， ∴∠DME+∠DEM＝90°， 由折叠知，∠MEN＝90°， ∴∠DEM+∠NEC＝90°， ∴∠DME＝∠NEC， ∴△MDE∽△EFN， ∴， ∴， ∴EF＝6， ∴AN＝DF＝DE+EF＝4+6＝10， ∴tan∠AMN2． 故答案为：2． 点对点训练 1．如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8）．则点E的坐标为（　　） A．（10，3） B．（10，4） C．（10，5） D．（10，6） 2．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝　 　． 3．如图，矩形AOBC的边OA、OB在直角坐标系的正半轴上，点E、F分别在AC、BC边上，将△CEF沿EF翻折，使点C落在OB上的点P处，若点C的坐标为（5，3），则点P的横坐标m的取值范围是　 　． 4．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点D是AC边上的一个动点．将△ABC沿BD所在直线折叠，点C的对应点为点E．如图，若CD＝2，求C，E两点之间的距离． 5．如图，长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝4，求△EFD的面积． 6．如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处．当△CEB'为直角三角形时，求BE的长？ 7．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．将△BCD沿对角线BD翻折得到△BED，BE交AD于点O． （1）判断△BOD的形状，并证明； （2）直接写出线段OD的长． 8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，BE与CD交于点G． （1）求证：AP＝DG； （2）求线段AP的长． 9．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD的点G处，折痕分别交边AD、BC于点E、F． （1）求证：△GEF是等腰三角形； （2）求△GEF面积的最大值． 10．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝5，BC＝AD＝4． （1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）． ①如图1，当点E落在边CD上时，画出图形，直接写出此时DE的值为 　 　； ②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长； （2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B'处，求BQ的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$