16.2 二次根式的乘除（十大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年八年级数学下册同步精讲精练（人教版）

（人教版）八年级下册数学《第十六章 二次根式》 16.2 二次根式的乘除 知识点一 二次根式的乘法 ●●二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 用字母表示为：•（a ≥0，b≥0）. ★1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数. ★2、二次根式的乘法法则推广： ①•（a ≥0，b ≥0，c≥0）. ②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.即 m n = m n（a≥0，b≥0）. ★3、二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式. 知识点二 积的算术平方根 ●●积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0）即：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积（我们把这个性质也叫做积的算术平方根的性质）. 【注意】 1、此公式成立的条件是a ≥0，b≥0实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可. 2、在进行化简计算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外. 知识点三 二次根式的除法 ●●二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 用字母表示为：（a≥0，b＞0）． ★1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的且b不为0，即a≥0，b＞0是公式成立的必要条件． ★2、二次根式的除法法则推广： ①（a ≥0，b ≥0，c≥0）. ②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式除以单项式的法则进行计算，系数的商作为结果的系数，根式的除法按照除法法则计算.，即 （a≥0，b＞0）. ★3、若商的被开方数中含有完全平方因数，应运用积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简． 知识点四 商的算术平方根 ●●商的算术平方根性质：（a≥0，b＞0）即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）. 【注意】 1、该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0. 2、该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可. 知识点五 最简二次根式 ★1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ★2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 题型一 利用二次根式的乘法法则进行计算 【例题1】（2023春•仙游县期中）下列运算正确的是（　　） A．• B．9 C．12 D．•6 解题技巧提炼 1、运用二次根式的乘法法则进行计算时，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方; 2、当二次根式外有因数（式）时，就把根号外因数（式）相乘的积作为积中根号前的系数，把所有被开方数相乘的积作为被开方数. 【变式1-1】（2023秋•洪洞县期中）计算的结果是 　 　． 【变式1-2】（2023秋•榆树市校级期末）计算：　 　． 【变式1-3】（2023春•宿豫区期末）直角三角形的两条直角边长分别为cm、cm，则这个直角三角形的面积为　 　cm2． 【变式1-4】计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1-5】计算: （1）•； （2）； （3）； （4）． 题型二 直接运用积的算术平方根的性质化简 【例题2】化简下列各题： （1） （2） （3）3； （4）； （5）（y≥0）； （6）（a≥0，b≥0）； 解题技巧提炼 利用积的算术平方根的性质进行化简的步骤： 1、将被开方数进行因数分解或因式分解； 2、利用•（a≥0，b≥0）和=将能开得尽方的因数或因式开到根号外. 【变式2-1】（2023秋•桂东县期末）若则（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 【变式2-2】给出下面四种解答过程，其中运算正确的是（　　） A．（﹣5）×（﹣4）＝20 B．±±（5）×（4）＝±20 C．5×4＝20 D．35﹣21＝14 【变式2-3】（2021春•饶平县校级期中）若a＜0，b＞0，则化简的结果