第一章 三角形的证明 解答题训练 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明 解答题训练 2023-2024学年北师大版八年级数学下册 1、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE＝CF的理由； （2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长． 2、已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F． （1）求证：BF＝AC； （2）求证：． 3、如图，已知是等腰直角三角形，，是的平分线，，垂足为． （1）请你写出图中所有的等腰三角形； （2）请你判断与垂直吗？并说明理由． （3）如果，求的长． 4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2． (1)求证：△ADE≌△BFE； (2)联结EG，试说明EG与DF垂直的理由． 5、在中，，，平分交于点，交延长线于点，连接，过点作交于． （Ⅰ）如图①， （1）求的度数； （2）求证； （Ⅱ）如图②，交的延长线于点，探究、、之间的数量关系，并给出证明． 6、已知，点，分别在射线，上（不与点重合），且，平分，线段的垂直平分线分别与，，交于点，，，连接，在射线上取点，使得，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 7、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，AD+EC＝AB． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数； （3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？ （4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD＝120°，并请说明理由． 8、已知：在△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，以BE为底边作等腰△DBE，取CE的中点为G，连接AG、DG． （1）如图1，若BE＝AE，∠BDE＝120°，∠BAC＝60°，求证AG⊥DG； （2）如图2，若BE≠AE，∠BDE+∠BAC＝180°，则（1）中结论仍然成立吗？说明理由． 9、在中，，，点为边的中点，动点以2个单位的速度从点出发在射线上运动，点在边上，设点运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长． （2）当，点在线段上． ①若和全等，则的值为 　　．②连接，设的面积为．当时，求的值． （3）当，为等腰三角形时，请直接写出的度数为 　　． 10、在中，，，，为上一点，连接，过点作于点． （1）如图1，过点作交的延长线于点，求证：； （2）如图2，若为的中点，的延长线交于点，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，直接写出的长． 11、（1）如图①，和都是等边三角形，且点，，在一条直线上，连接和，直线，相交于点．则线段与的数量关系为　　；与相交构成的锐角的度数为　　． （2）如图②，点，，不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立？请说明理由. （3）应用：如图③，点，，不在同一条线上，其它条件依然不变，此时恰好有．设直线交于点，请把图形补全．若，则　　． 12、如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线射线且，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，已知、两点同时出发，运动时间为秒． （1）当时，是等腰三角形，求的值． （2）求为何值时，为等腰三角形． （3）是否存在，使得与全等，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明由． 13、等腰中，，，点是的中点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在边上，点在边延长线上，，求的度数； （3）如图3，，，与交于点，是的中点，连接、，试判断线段与的关系，并给出证明． 14、如图1，在和中，，，． （1）求证：； （2）如图2，若，点为的中点，求的大小； （3）在（2）的条件下，垂直平分于，连接，设，，，猜想，，满足的关系式，并证明． 15、如图1，已知中，，点是上一点，且，，于点，交于点． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，若，求的面积； （3）如图3，点是延长线上一点，且，连接，求证：. 16、如图，点，分别在等边的边，上，且，，交于点． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，若，，，分别是各边上的三等分点，，交于．若的面积为，请用表示四边形的面积； （3）如图3，延长到点，使，设，，请用含，的式子表示长，并说明理由． 17、在中，，，，点在边上，，动点从点出发，沿射线运动，速度为每秒1个单位长度，当点不与点重合时，以为边构造，使，，且与点在直线的同侧，设点运动时间为秒． （1）的长为　　． （2）点落在边上时，求的值； （3）当点在线段上时，设与重合部分图形的周长为，求与之间的函数关系式． （4）当点与的一个顶点（