6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（讲义，5考点+14题型）-2023-2024学年高一数学同步讲义与对点练（人教A版2019必修第二册）

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 知识点一 平面向量数量积的坐标表示 若，则，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 微点拨： 灵活运用以下几个关系式，，． 知识点二 两个向量平行、垂直的坐标表示 设两个非零向量，则 （1） （2） 知识点三 三个重要公式 （1）向量模的公式：设，则 （2）两点间的距离公式：若， ，则 （3）向量的夹角公式：设两个非零向量，与的夹角为，则 微点拨： ①向量的平行、垂直在用坐标关系表示时，公式结构容易混淆，要注意区分． ②向量的模即为向量的长度，其大小为平面直角坐标系中两点间的距离． ③两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角. ④当为锐角或零角；当为直角；当为钝角或平角． 考点一 向量数量积的坐标运算 提分笔记 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． 题型一 数量积直接运算 1．（2022下·贵州铜仁·高一贵州省松桃民族中学校考阶段练习）已知向量，则（    ） A．0 B．3 C．2 D．1 2．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第四中学校考期中）已知向量，则 . 3．（2022·高一课时练习）已知,,,求，，，. 题型二 利用数量积求参数 1．（2023下·全国·高一随堂练习）已知，，且，则 ． 2．（2023下·贵州黔西·高一校考期中）已知向量，，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2023下·湖南益阳·高一安化县第二中学校考阶段练习）已知，，，设是直线上的一点（其中为原点）． (1)若，，求点坐标； (2)求取最小值时向量的坐标． 题型三 投影（单位）向量的坐标运算 1．（2024上·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）向量，，那么向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知向量，则向量在上的投影向量的模等于（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．（2023下·四川眉山·高一校考期中）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义如下：若（其中分别为与轴，轴同方向的单位向量），则点的斜坐标为.此时有，试在该斜坐标系下探究以下问题：    (1)，求的坐标； (2)，求的值； (3)求与同向的单位向量的坐标. 考点二 利用数量积解决模的有关问题 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用或，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积问题． (2)字母表示下的运算：坐标表示下的运算：若，则. 题型一 模的计算 1．（2023下·新疆阿克苏·高一校考期末）已知向量，，则（    ） A． B．5 C． D．4 2．（2021下·安徽安庆·高一安徽省怀宁中学校考阶段练习）已知向量，满足，，，则 . 3．（2023下·湖南株洲·高一统考期中）已知向量与的夹角为60°，＝1，． (1)求及； (2)求. 题型二 已知模的关系式求参数 1．（2024·全国·高一假期作业）若，则实数（    ） A．6 B． C．3 D． 2．（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）设向量，，且，则 ． 3．（2023下·全国·高一随堂练习）已知向量为向量的夹角. (1)求的值； (2)若，求实数的值. 考点三 利用数量积解决夹角的有关问题 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)先利用平面向量求出这两个向量的数量积以及，再由求出，也可由坐标表示直接求出.由三角函数值c求角时，应注意角的取值范围是. (2)由于，利用来判断角时，要注意有两种情况：一是为钝角，二是；也有两种情况：一是为锐角，二是. 题型一 求夹角或余弦值 利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤 (1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． (2)求模．利用计算两向量的模. (3)求夹角余弦值．由公式求夹角余弦值． (4)求角．由向量夹角的范围及求的值． 1．（2024·全国·高一假期作业）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量，，若实数m，n满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·湖南湘西·高一统考期末）设平面内三点，，. (1)求； (2)设向量与的夹角为，求. 题型二 根据夹角为锐、钝角求参数范围 1．（2023下·甘肃天水·高一统考期中）设，，若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 2．（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校