6.2.3 向量的数乘运算（分层作业）-2023-2024学年高一数学同步备课系列（人教A版2019 必修第二册）

6.2.3　向量的数乘运算（分层作业） （自主梳理+夯实基础+能力提升） 【自主梳理】 1.向量的数乘运算 (1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (1)若λa＝0，则λ＝0或a＝0； (2)当a≠0时，向量是与向量a同向的单位向量.　　　 (3)设λ，μ为实数，则有： ①λ(μa)＝λμa； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 规定0向量与任意向量共线.　　　 3.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的. 2.λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量表示与向量a同方向的单位向量. 3.向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题.但应注意向量共线与三点共线的区别. 4.已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线⇔m＋n＝1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【夯实基础】 题型1 向量的线性运算 1.（2023下·海南·高三海南二中校考阶段练习）在中，D是AB边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2.（2023上·高一课时练习）如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若，，用表示为(    ) A． B． C． D． 3.（2023·高一课时练习）等于（    ） A． B． C． D． 4.（2022下·北京·高一清华附中朝阳学校校考阶段练习）在菱形ABCD中，与相等的向量可以是（    ） A． B． C． D． 5.（2022·高一课时练习）四边形中，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 1.向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段. 2.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算. 题型2 用已知向量表示其他向量 1.（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在四边形中，,，点在线段上，且，设，则（    ） A． B． C． D． 2.（2023·高一课时练习）如图，是平面上的三段，为线段的中点，向量，设为线段的垂直平分线上任意一点，向量.若，则 A．1 B．3 C．5 D．6 3.（2023下·北京·高一北京市第一六六中学校考期中）在中，，若，,则（    ） A． B． C． D． 4.（2023·高一课时练习）在中，D是BC的中点，如果，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 5.（2023上·河北承德·高三校联考期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 1.用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何中的有关定理，将所求向量反复分解，直到可以用已知向量表示，其实质是向量的线性运算的应用. 2.若直接表示向量较困难时，可考虑设出未知向量，表示已知向量，建立向量的等量关系，求解关于所求量的方程. 题型3共线向量及其应用 1.（2022·高一课时练习）已知是平面上一定点，﹑﹑是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2.（2023下·高一课时练习）给出下列两个命题： ①若与共线，则存在唯一实数λ，使； ②若不存在实数λ，使，则与不共线． 对这两个命题判断正确的是（　　） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 3.（2023·高一课时练习）在中，点在边的延长线上，且.若，则点在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 4.（2023下·高一课时练习）已知P为所在平面内一点，且满足，，则　　 A． B． C． D． 5.（2023·江西新余·校联考模拟预测）如图，在三角形中，M、N分别是边、的中点，点R在直线上，且（x，），则代数式的最小值为（    ） A． B