重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题（讲义）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题 【题型归纳目录】 题型一：直接使用奔驰定理 题型二：三角形面积比问题 【方法技巧与总结】 奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点. 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为. 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故. 【典型例题】 题型一：直接使用奔驰定理 例1．（2024·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（     ）    A．若，则O为△ABC的重心 B．若，则 C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则 D．若，，，则 例2．（多选题）（2024·山东·高一校联考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 例3．（多选题）（2024·全国·高一随堂练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 变式1．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（    ）． A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则 D．若，，，则 变式2．（多选题）（2024·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的logo非常相似，该结论如下：如图，已知是内部一点，将，，的面积分别记为，，，则.根据上述结论，下列命题中正确的有（    ）      A．若，则 B．若，则 C．若为的内心，且，则 D．若为的垂心，则 题型二：三角形面积比问题 例4．（2024·江西宜春·高一统考期末）已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（    ） A． B． C． D． 例5．（2024·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 例6．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2024·安徽黄山·高一统考期末）已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（2024·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学阶段练习）设为等边的重心，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则（  ） A． B． C． D． 变式5．（2024·四川德阳·高一统考期末）已知P是内部一点，且，则面积之比为（    ） A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1 变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 【同步练习】 1．（2024·江苏·高三盐城中学校考阶段练习）记△ABC所在平面内一点为P，满足，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西·高三竞赛）如图，设为内一点，且.则 A． B． C． D． 3．（2024·广东·高一仲元中学校考期末）已知P为边BC上一点，，若，则 A． B． C． D． 4．（2024·陕西延安·