重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题（课件）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题 01 02 03 目录 CONTENTS 题型归纳 方法技巧 典型例题 01 题型归纳 题型归纳 02 方法技巧 方法技巧 奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点. 已知的顶点,,, 则△ABC的重心坐标为. 注意：（1）在中,若为重心,则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：,则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图：令， 即满足 ,, 故. 03 典型例题 【例1】（多选题）（2024·安徽·高一安徽省宿松中学校联考期末）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（    ） A．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离 分别是，则有 B．若为内一点，且，则是的内心 C．若为内一点，且，则 D．若的垂心在内，是的三条高，则 【答案】ACD 【解析】因为为内任意一点，所以两两不共线； 对A：是等边三角形，设其高为，则，，， 代入奔驰定理得，， 即，故A正确； 对B：由 且，根据平面向量基本定理得，则是的重心，故B不正确； 对C：，即， 又，由平面向量基本定理得，故C正确； 对D：由点是的垂心，则，所以，同理可得，，， 代入，得， 即，故D正确；故选：ACD． 题型一：直接使用奔驰定理 典型例题 【例2】（多选题）（2024·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，且，则 C．若，则为的垂心 D．若为的内心，且，则 【答案】BCD 【解析】对选项A：，则，错误； 对选项B：，， 故，，正确； 对选项C：，即，故， 同理可得，，故为的垂心，正确； 对选项D：，故，设内接圆半径为， ，，，即，即，，正确.故选：BCD 题型一：直接使用奔驰定理 典型例题 【变式1】（多选题）（2024·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 【答案】ABD 【解析】对于A，是的重心，则, 代入就得到,正确； 对于B，设点P到边的距离分别为， 由得，， 即，与已知条件比较知， ，则是的内心，正确； 对于，即， 与比较得到，，错误； 对于D，是的外心，且，则， 设三角形外接圆半径为R，所以， 代入奔驰定理即可得到，正确，故选：ABD. 题型一：直接使用奔驰定理 典型例题 【变式2】（2024·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的 心. 【答案】内 【解析】，， ， ， ，分别是，方向上的单位向量， 向量平分，即平分，同理平分， 为的内心， 故答案为：内 题型一：直接使用奔驰定理 典型例题 【例3】（2024·河南南阳·统考三模）已知为内一点，且，则，，的面积之比为 ． 【答案】 【解析】 延长到，使得，分别以，为邻边做平行四边形， ， 且， 所以， 又，，， ，同理，， 即，，的面积之比为， 故答案为：. 题型二：三角形面积比问题 典型例题 【例4】（2024·浙江·高一期末）已知为内的一点，满足，则与的面积之比为 ． 【答案】 【解析】分别取的中点，连接， ， ， 即， ， ，； 又为中点， ，. 故答案为：. 题型二：三角形面积比问题 典型例题 【变式3】（2024·陕西安康·统考一模）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 设，则. 由于，所以A，B，D三点共线，如图所示， ∵与反向共线，， ∴，∴， ∴.故选：D 题型二：三角形面积比问题 典型例题 【变式4】（2024·河南郑州·高一郑州外国语中学校考阶段练习）为等边三角形内一点，且满足，若与的面积之比为，则实数的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】取AC边中点为E，BC中点为F，连接EF，作图如下： ，整理得 即：，故O点在中位线EF上. 因为与的面积之比为， 可得与的面积之比为， 因为这两个三角形等高，故面积比为底边长度之比， 即：， 故点O是EF