2024年重庆中考数学专题复习：全等三角形辅助线（倍长中线、截长补短）

2024年重庆中考数学专题复习：全等三角形辅助线（倍长中线、截长补短） 一．倍长中线（共7小题） 1．已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°． （1）如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数． （2）如图1，求证：EF＝2AD． （3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论． 2．在△ABC中，点D、点E分别为边BC、AB上的点， （1）如图1，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线经过点E与BC延长线交于F点，连接AF，若∠B＝30°，求∠CAF的大小； （2）如图2，D为边BC中点，连接ED，CE，过点B作AC的平行线BF交ED延长线于点F．若∠EDB＝∠ACE+∠ACB，求证：EF＝CE+2DE． 3．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC． （1）如图1，连接BE，CD，求证：BE＝CD； （2）如图2，当点B，E，D在同一直线上时，连接BE，CE，取BD的中点F，连接AF，求证：CE＝2AF； （3）如图3，连接BD，CE，过点A作AG⊥EC于点G，GA的延长线交BD于点H，若，，直接写出△ADB的面积． 4．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，点E是BC上一点，连接DE、AE，∠AED＝∠ABC，点F是AE上一点，且EF＝DE，连接CF． （1）如图1，若CE＝BD＝2，BC＝6，求CF的长度； （2）如图2，若CE＝AD，点G为CF上一点，连接EG，且∠CEG＝∠EAB，求证：AE＝2GE； （3）如图3，若CE＝AD，EF＝，∠ABC＝45°，当CF取得最小值时，请直接写出△ABE的面积． 5．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，E为线段AB上一点（不与A、B重合），D是平面上一点，直线DE与BC交于点F． （1）如图1，D在CA的延长线上，∠CDE＝30°，连接CE，CE＝CF，求∠ACE的度数； （2）如图2，D在△ABC外，CD∥AB，DE＝DB，连接AF，求证：AF⊥BD； （3）如图3，D在△ABC内，BD＝CE，∠BDF＝∠CEF，过F作直线l，l与线段AB相交，AP⊥l，CQ⊥l，垂足分别为P，Q．若AB＝3，请直接写出AP+CQ的最大值． 6．已知：如图，在等边△ABC中，点D是AC上任意一点，点E在BC延长线上，连接DB，使得BD＝DE． （1）如图1，求证：AD＝CE； （2）如图2，取BD的中点F，连接AE、AF．求证：∠CAE＝∠BAF． （3）如图3，在（2）的条件下，过点F作FH⊥AE于点H，求证：EH＝3AH． 7．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC且∠ACB＝90°，D为AB上一动点，连接CD，把CD绕点D旋转90°得到ED，连接CE； （1）如图1，CE交AB于点Q，若，DQ＝5，求AQ的长； （2）如图2，连接BE、AE，点F为BE中点，求证：AE＝2DF； （3）如图3，连接BE，以BE为斜边在BE右侧作以点H为直角顶点的等腰Rt△HEB，点Q为BC上一点且CQ＝3BQ，点N为AB上一动点，把△BQN沿着QN翻折到△BQN的同一平面得△MQN，连接HM，若AC＝4，当HM取最小值时，请直接写出S△HMN的值． 二．截长补短（共7小题） 8．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB． （1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝　 　°； （2）过D点作DG⊥AE，垂足为G． ①填空：△DEG≌△　 　； ②求证：AE＝AF+BC； （3）如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由． 9．在△ABC中，AB＝AC． （1）如图1，当∠A＝90°时，取AC上一点D，取BC上一点E，连接BD，DE．若BD平分∠ADE，AD＝DE＝2，求AC的长； （2）如图2，当∠BAC＝60°时，取AB上一点F，取BC上一点G，连接FG，AG，延长BC至点H，连接AH．已知∠GAH＝60°，AH＝AG+FG，求证：CH＝BF； （3）当∠BAC＝60°，点P在△ABC内部时，连接AP，BP，CP．当的值最小时，请直接写出的值． 10．在△ABC中，点D是边BC上一点，连接AD． （1）如图1，若AD平分∠BAC，AB＝3，AC＝5