6.4 平面向量的应用（十六大题型）（精练）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

6．4平面向量的应用 【题型归纳】 题型一：利用向量证明平面几何问题 1．（2024·全国·高一专题练习）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2. 2．（2024·广东广州·高一广州市第二中学校考阶段练习）在等边中，，点为的中点，交于点. （1）证明：点为的中点； （2）若，求的面积. 3．（2024·江苏苏州·高一校联考阶段练习）我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的已知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知，，是的三条高，求证：，，相交于一点. 题型二：利用向量解决平面几何求值问题 4．（2024·全国·高一课堂例题）已知点，，，求： (1)的值； (2)的大小； (3)点A到直线BC的距离． 5．（2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 6．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=    (1)试用，表示； (2)若，求∠ARB的余弦值 (3)若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围. 题型三：向量在物理中的应用 7．（2024·高一课时练习）一个质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成角且，，则（　　） A． B． C． D． 8．（2024·北京·高一校考期末）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论： ①越大越费力，越小越省力；②的范围为； ③当时，；④当时，. 其中正确结论的序号是（    ）    A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 9．（2024·安徽黄山·高一统考期末）某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（    ） A． B． C． D． 题型四：已知两边及一角解三角形 10．（2024·全国·高一假期作业）在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（    ）. A．4 B．5 C．6 D．6或 11．（2024·全国·高一随堂练习）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 12．（2024·山东青岛·高一校联考期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 题型五：已知三边解三角形 13．（2024·江西·高一统考期末）在中，为边上一点（不含端点），，，，若，则（   ） A． B． C． D． 14．（2024·上海徐汇·高一位育中学校考期末）在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，已知，则角为（    ） A． B． C． D． 题型六：利用余弦定理判断三角形的形状 16．（2024·全国·高一假期作业）在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 17．（2024·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 18．（2024·北京·高一东直门中学校考期末）中，，，分别是内角，，的对边，若且，则的形状是（    ） A．底角是的等腰三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 题型七：已知两角及任意一边解三角形 19．（2024·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期末）的内角，，对边分别为，，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 20．（2024·浙江·高一期末）在中，，则边长（    ） A． B． C． D． 21．（2024·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A．1:2:3 B．1:2: C．1::2 D．2: :1 题型八：已知两边及其中一边的对角解三角形 22．（2024·陕西铜川·统考一模）在中，，.则（   ） A． B． C． D．或 23．（2024·广东东莞·高一东