二次函数问题解决的两种方法讲义-2024届高三数学二轮复习

二次函数问题解决的两种方法 山东东营 徐新华 函数问题是非常重要和抽象的问题，象高次函数、无理函数、超越函数以及抽象函数等等都是经常遇到的较为复杂的函数。针对诸如此类复杂而又陌生的函数，通过加工处理后转化为二次函数的绝不在少数，换句话说，大量的复杂函数问题归结为二次函数问题解决。因此，精准做实二次函数问题解决，尤为重要。下面，对二次函数中出现的一系列重难点问题，分别采用两种不同的解法，即直接法和参变分离法，逐一进行分析作答。 直接法是以二次函数（或一元二次方程）本身为平台，利用转化、数形结合等形成等价的符号语言，抛物线的开口方向、对称轴、顶点、判别式以及根与系数关系等时常参与其中。 参变分离法的做法是通常把参数和变量分别处理到等式（或不等式）的两边，利用转化、换元等构建新函数（新函数有时为对勾函数），在新函数下借助数形结合来完成。两种不同的解法，最为明显的区别是：参变分离法一定分离（有时不能完全分离），而直接法一般不考虑分离。两种方法不尽相同，相得益彰，可谓二次函数问题解决的双保险，足以为顺利解决函数问题保驾护航。 类型一：只有常数项含参问题 例1：已知关于x的一元二次方程x2+2x-m=0，该方程总有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围。 方法一：直接法 由题意：Δ=b2-4ac=22-4(-m)=4+4m>0，解得 m>-1.即m的取值范围为（-1，+∞）。 方法二：参变分离法 由题意：m=x2+2x，令g(x)=x2+2x 转化为y=g(x)与y=m的图像有两个公共点。 ∵抛物线g(x)=x2+2x的对称轴是x=-1且开口向上， ∴x∈R时g(x)min=g(-1)=(-1)2+2(-1)=-1，得m>-1. 即m的取值范围为（-1，+∞）。 例2：若函数f(x)=x2+2x-m在x∈(-2, 3)上有两个不同的零点，求实数m的取值范围。 方法一：直接法 抛物线f(x)=x2+2x-m的对称轴是x=-1且开口向上。由题意得： 解得-1<m<0,即m的取值范围为（-1，0）。 方法二：参变分离法 由题意：m=x2+2x，令g(x)=x2+2x,x∈(-2, 3) 转化为y=g(x)与y=m的图像有两个公共点。 ∵抛物线g(x)=x2+2x称轴是x=-1且开口向上。 ∴x∈(-2,3)时g(x)在(-2,-1)上单调递减，在(-1,3)上单调递增，∴g(x)min=g(-1)=(-1)2+2(-1)=-1， 由于g(-2）=0 ，g(3）=15，得m>-1. 即m的取值范围为（-1，0）。 例3：已知函数f(x)=x2+2x-m，若对任意实数x的值,总有f(x)>0成立，求实数m的取值范围。 方法一：直接法 抛物线f(x)=x2+2x-m的对称轴是x=-1且开口向上。由题意得： Δ=b2-4ac=22-4(-m)=4+4m<0，解得m<-1. 即m的取值范围为（-∞ ， -1）。 方法二：参变分离法 由题意：x2+2x-m>0即m<x2+2x对任意实数x的值恒成立。 令g(x)=x2+2x，转化为m<g(x)min。 ∵抛物线g(x)=x2+2x的对称轴是x=-1且开口向上， ∴x∈R时g(x)min=g(-1)=(-1)2+2(-1)=-1，得m<-1. 即m的取值范围为（-∞ ， -1）。 例4：若函数f(x)=x2-2x-m对任意x∈[2,3]上总有f(x)>0成立，求实数m的取值范围。 方法一：直接法 抛物线f(x)=x2-2x-m的对称轴是x=1且开口向上,f(x)在x∈[2,3]上单调递增，由题意得：f(2)>0，解得m<0,即m的取值范围为（-∞，0）。 方法二：参变分离法 由题意：x2-2x-m>0即m<x2-2x对任意x∈[2,3]上总有f(x)>0恒成立 令g(x)=x2-2x 转化为m<g(x)min。∵抛物线g(x)=x2-2x的对称轴是x=1且开口向上， 在x∈[2,3]上单调递增，由题意得：g(x)min=g(2)=0，解得m<0, 即m的取值范围为（-∞，0）。 类型二：只有一次项系数含参问题 例5：已知函数f(x)=x2-2mx+1， 该函数总有两个不同的零点，求实数m的取值范围。 方法一：直接法 由题意：Δ=b2-4ac=(2m)2-4=4m2-4>0，解得m>1或m<-1. 即m的取值范围为（-∞，-1）u（1，+∞）。 方法二：参变分离法 x=0显然不是函数f(x)=x2-2mx+1的零点； 当x≠ 0 时，由题意：2m=x+有两个不相等的实数根，，令g(x)=x+ 转化为y=g(x)与y=2m的图像有两个公共点。∵g(x)=x+在（-∞，-1）上单调 递增，在（-1，0）上单调递减，即g(x)在（-∞，0）上的最大值为g(-1)=-2； 在（0，1）上单