解直角三角形常见应用类型 同步练 2023-2024学年人教版数学九年级下册

解直角三角形常见应用类型 点石成金 利用锐角三角形函数解决实际问题,关键是构造直角三角形,在构造时,依据角(视角和方位角)或线进行构造,一般都是作垂线构造一个甚至几个直角三角形。 典型例题剖析 例 为了维护海洋权益,新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度,一天,我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻,同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域.如图所示,AB=60()海里,在B处测得C在北偏东45 的方向上,A处测得C在北偏西30 的方向上,在海岸线AB上有一灯塔D,测得AD=120()海里. (1)分别求出A与C及B与C的距离AC、BC(结果保留根号) (2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群,我在A处海监船沿AC前往C处盘查,图中有无触礁的危险? (参考数据:1.41,1.73,2.45) 分析:(1)如图所示,过点C作CE⊥AB于点E,可求得∠CBD=45 ,∠CAD=60 ,设CE=x,在Rt CBE与Rt CAE中,分别表示出BE、AE的长度,然后根据AB=60()海里,代入BE、AE的式子,求出x的值,继而可求出AC、BC的长度; (2)如图所示,过点D作DF⊥AC于点F,在 ADF中,根据AD的值,利用三角函数的知识求出DF的长度,然后与100比较,进行判断. 【解答】解:(1)如图所示,过点C作CE⊥AB于点E, 可得∠CBD=45 ,∠CAD=60 , 设CE=x, 在Rt CBE中,BE=CE=x, 在Rt CAE中,AEx, ∵AB=60()海里, ∴xx=60(), 解得:x=60, 则ACx=120, BCx=120, 答:A与C的距离为120海里,B与C的距离为120海里; (2)如图所示,过点D作DF⊥AC于点F, 在 ADF中, ∵AD=120(),∠CAD=60 , ∴DF=ADsin60 =18060106.8>100, 故海监船沿AC前往C处盘查,无触礁的危险. 分类训练 类型1 一角一线(构造一个直角三角形) 1.如图1是一种可折叠的台灯,图2是台灯的结构图,AC是可以绕点A旋转的支架,AB是可以绕点B旋转的支架,C为灯泡的位置.量得AB=10cm,AC=20cm,当AB⊥BF,∠CAB=127 时,求点C到BF的距离.(参考数据,sin37 ≈0.6,cos37 ≈0.8,tan37 ≈0.75) 分析:过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D,根据解直角三角形的AD长,求出点C到BF的距离即可. 类型2 一角两线型(构造一个直角三角形和矩形) 2.2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事.如图,某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8 ,仪器与气球的水平距离BC为20米,且距地面高度AB为1.5米,则气球顶部离地面的高度EC是 9.5 米(结果精确到0.1米,sin21.8 ≈0.3714,cos21.8 ≈0.9285,tan21.8 ≈0.4000). 分析:由题意得,四边形ABCD是矩形,根据矩形的性质得到AB=CD=1.5m,AD=BC=20m,解直角三角形即可得到结论. 类型3 两角一线型 3.黑匣子记录有船舶航行过程中的各种信息参数,船舶发生事故后,黑匣子能帮助技术人员分析船舶出现故障或失事的原因.打捞黑匣子是海难搜救中的一项重要工作.如图,在某次海难搜救中,一艘搜救潜艇在海面以下500m的点A处测得正前方俯角为30 的海底有事故船的黑匣子C信号发出,继续在同一深度直线航行4000m到达点B处,此时测得事故船黑匣子信号在正前方俯角为60 的海底,求黑匣子距离海面的深度.(计算结果精确到1m,参考数据:1.414,1.732,2.236) 分析:过点C﹣y+1﹣m=0作CE⊥AB交AB的延长线于点E,交海面于点F,根据已知条件得出∠BAC=∠ACB,则BA=BC=4000,然后解Rt BEC,即可求解. 类型4 两角两线型 4.2022年我国建成5G基站超60万个,5G建设跑出“中国速度”.某地有一个5G信号塔BE,小敏想用所学的数学知识测量信号塔BE的高度,如图,为了测量信号塔BE的高度,在地平面上点C处测得信号塔顶端E的仰角为55 ,从点C向点A方向前进2米到点D,从点D测得信号塔底端B的仰角为37 ,已知楼房的高度AB为21米.求信号塔BE的高度(结果精确到0.1米).(参考数据sin55 ≈0.82,cos55 ≈0.57,tan55 ≈1.43,sin37 ≈0.60,cos37 ≈0.80,tan37 ≈0.75) 分析:在Rt ABD中,∠ADB=37 ,AB=21米,根据三角函数的定义得到AC,在Rt ACE中,∠ACE=55 ,AC=30米,根据三角函数的定义得到AE,于是得到结论. 类型5 三角一