构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型 同步练 2023-2024学年人教版数学九年级下册

构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型 点石成金 解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一,考查内容不仅有传统的计算距离、 高度、角度的应用题,还要求同学们根据题中给出的信息构造三角函数的基本图形,建立数学模型,将某些简单的实际问题转化为数学问题,把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解.运用锐角三角函数知识解决与实际生活、 生产相关的应用题是近年来中考的热点题型. 典型例题剖析 例 某工程队承包了一段铁路的施工,该铁路要经过某一隧道,如图,已知隧道口分别为D,E,为了如期完工,需测量出DE的长度,为此,该工程队在山的一侧选取适当的点C,测得BC=200m,∠ABC=105 ,∠C=45 ,AD=18m,BE=32m(注:A,D,E,B在同一条直线上).已知该工程限定时间为10天,则该工程队每天至少需要施工多少米? 分析:通过作垂线构造直角三角形,利用特殊锐角的直角三角形的边角关系求出DE的长,再工作总量除以工作时间求出工作效率即可. 解:如图,过点B作BF⊥AC,垂足为F, ∵∠C=45 , ∴∠CBF=90 ﹣45 =45 =∠C, ∴∠ABF=∠ABC﹣CBF=105 ﹣45 =60 , 在Rt BCF中,BC=200m,∠C=45 , ∴BFBC=100(m), 在Rt ABF中,BF=100m,∠ABF=60 , ∴AB=2BF=200m, ∴DE=AB﹣AD﹣BE =2001832 =150(m), 15010=15(m), 答:该工程队每天至少需要施工15米. 分类训练 模型1 构造直角三角形解实际问题 1.为响应二十大新型城镇化战略,助力乡村振兴,某县计划在乡镇之间增设燃气管道.如图,同一平面上的四个点A,B,C,D为某县四个乡镇的中心点,A,C两个乡镇之间已铺设燃气主管道AC,其长为27千米.计划在B,D两个乡镇之间再铺设燃气主管道BD.已知AB∥CD,∠ACD=53.2 ,∠BDC=26.6 .求BD的长.(结果保留整数,参考数据:sin53.2 ≈0.80,tan53.2 ≈1.34,sin26.6 ≈0.45,tan26.6 ≈0.50) 分析:过A作AE⊥CD,垂足为E,过点B作BF⊥CD,交DC的延长线于点F,根据垂直定义可得∠BFE=∠AED=90 ,从而可得BF∥AE,进而可得四边形AEFB是矩形,然后利用矩形的性质可得AE=BF,在Rt ACE中,利用锐角三角函数的定义求出AE的长,从而求出BF的长,最后在Rt BDF中,利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答. 2.如图,在同一平面上的四个点A,B,C,D为某县四个乡镇的中心点,连接这四个乡镇之间的公路AB=40km,AC=BD=20km.“美丽乡村”建设项目规划在C,D两个乡镇之间修一条公路CD.已知∠CAB=36.8 ,∠ABD=53.2 .求CD的长. (参考数据:sin36.8 =cos53.2 ≈0.6,sin53.2 =cos36.8 ≈0.8,7.6.) 分析:设AB与CD相交于点E,过点C作CF⊥AB,垂足为F,过点D作DP⊥AB,垂足为P,在Rt AFC中,利用锐角三角函数的定义求出AF,CF的长,再在Rt DBP中,利用锐角三角函数的定义求出BP,DP的长,从而求出FP的长,然后证明8字模型相似三角形 CFE∽ DPE,再利用相似三角形的性质可求出EF,EP的长,最后分别在Rt CEF和Rt DPE中,利用勾股定理可求出CE,DE的长,最后进行计算即可解答. 模型2 构造形如“”的两个直角三角形解实际问题 3.如图,某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度,采用了如下的方法:先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发,沿斜面坡度为i=2:的斜坡AB前进20m到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37 ,底部D的俯角为60 ,求古树DE的高度(参考数据:sin37 ,cos37 ,tan37 ,计算结果用根号表示,不取近似值). 分析:过点B作BF⊥AD于点F,过点C作CG⊥AD于点G,先求出BF,CG,延长BC,DE交于点H,易知∠CHD=90 ,在Rt CDH中求出CH,在Rt CEH中求出EH,即可求出古树DE的高度. 4.如图是某种云梯车的示意图,云梯OD升起时,OD与底盘OC夹角为 ,液压杆AB与底盘OC夹角为 .已知液压杆AB=3m,当 =37 , =58 时.(参考数据:sin37 ≈0.60,cos37 ≈0.80,tan37 ≈0.75,sin58 ≈0.85,cos58 ≈0.53,tan58 ≈1.60) (1)求液压杆顶端B到底盘OC的距离BE的长; (2)求AO的长. 模型3 构造形如“”的两个直角三角形解实际问题 5.为发展城乡经济,建设美