5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第2课时）教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课题 两角和与差的正弦，余弦和正切公式（2） 教学目标 教学目标： 1. 以两角差的余弦公式为基础，用逻辑推理的方法得到两角和与差的正弦，余 弦及正切公式，熟记公式，掌握公式的功能及其结构； 2. 初步应用这些公式，在引导学生进行观察，比较确定差异，寻找联系及联系 的途径的过程中，帮助学生认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换的特点，发展学生数 学运算素养； 3. 提升学生思维的有序性，逐步培养良好的思维习惯，发展学生逻辑推理素养， 培养数学整体观. 教学重点： 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及其功能、结构、简单应用. 利用已知的函数模型解决实际问题. 教学难点： 两角和与差的三角函数与圆旋转对称性间的联系及对公式的全面理解. 教学过程 时间 教学环 节 主要师生活动 1分 钟 新课引 入 一 新课引入 上节课我们利用圆的旋转对称性推导出两角差的余弦公式，请同学们 在回顾推导过程的基础上写出差角的余弦公式 cos(a -b) = cosa cos b+ sin asin b 8分 钟 新课讲 解 此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系. 二 新课讲解 问题1 由两角差的余弦出发，你能推导出两角和的余弦公式吗？ 追问 1： 比较 cos(a -b) 与 cos(a+b) ，它们的异同点是什么？ 它们都是角的余弦，只是角的形式不同 追问2： a -b与a+b之间有何种联系呢？ 一 方 面 从 运 算 的 角 度 看 ， 将 加 法 转 化 为 减 法 ： cos(a+b) = cos[a - (-b)] ；另一方面可以从换元角度考虑，将两角差的 余弦公式中的b换为 -b. 追问3： 基于上述差异与联系，如何由两角差的余弦公式得到两角和 的余弦公式？ cos(a + b) = cos [a - (-b)] = cosa cos(-b)+ sin asin(-b) . = cosa cos b- sin asin b 问题2 你能根据两角和与差的余弦公式推导出用任意角a ，b 的 正弦、余弦表示的sin(a -b) 及sin(a + b) 公式吗？ 追问 1： 比较 cos(a -b) 与sin(a -b) ，它们的异同点是什么？ 它们包含的角相同，但是函数种类不同. 追问 2：角的正弦与余弦是否可以建立联系呢？ 通过诱导公式五（或六）可以实现正弦与余弦的互化. 追问 3：诱导公式五及诱导公式六是什么呢？ sin( - a) = cosa ， cos( - a) = sin a ， sin(+a) = cosa ， cos( +a) = - sin a . 追问4： 基于上述差异与联系，如何由两角差的余弦公式得到两角差 的正弦公式？ sin(c - β) = cos = cos( - c) cos β- sin( - c) sin β = sinc cosβ- coscsinβ 追问5： 依照上述解决问题的思路，你能直接写出两角和的正弦公式 吗？ sin(c + β) = sinc cosβ+ coscsinβ 问题3 你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从两角 和与差的正弦 ，余弦公式出发 ，推导出用任意角 c ， β 的正切表示 tan(c + β) ， tan(c - β) 的公式吗？ 追问1： 如何用正弦函数、余弦函数表示正切函数？ sinc tan c = . cosc 追问2： :两角和的正切公式是否可以利用两角和的正弦公式与余弦公 式求得？ tan(c + β) = c (s)os (in)c (c) = cosc (sin c)c (c)o (o)s (s)β (β)s (c)in c sin (osc sin)β (β) . 追问3： 如何进一步转化为用任意角c ， β 的正切表示 tan(c + β) ？ 通过对分子、分母同时除以 cosc cos β转化，即 tan(c + β) = cosc (sinc)c (c)o (o)s (s)β (β)sinc sin (cosc sin)β (β) ( 1 - tan c . tan β )= tan c + tanβ . 追问 4：如何用任意角c ， β 的正切表示 tan(c - β) ？ tan(c - β)= 1+ tan (tan c)c (-)tta (an)n β (β). 教师小结： 用逻辑推理的方法我们以两角差的余弦公式 9分 钟 例 题 讲 解 cos(c 一 β) = cosc cos β+ sin csinβ为基础，将两角差的余弦公 式中的 β换为 一β或者利用 cos(c+β) =