反比例函数与几何的综合应用讲义 2023-2024学年人教版数学九年级下册

反比例函数与几何的综合应用 点石成金 解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知量，然后结合函数的图象用代数式表示出几何图形与图象的交点坐标， 再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待定字母的方程(组) ，解方程(组) 即可得所求几何图形中的未知量或函数解析式中待定字母的值. 经典实例剖析 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数y＝2x的图象与CB交于点D，函数y（k为常数，k≠0）的图象经过点D，与AB交于点E，与函数y＝2x的图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF． （1）求函数y的表达式，并直接写出E、F两点的坐标； （2）求△AEF的面积． 分析：（1）根据正方形的性质，以及函数上点的坐标特征可求点D的坐标为（1，2），根据待定系数法可求反比例函数表达式，进一步得到E、F两点的坐标； （2）过点F作FG⊥AB，与AB的延长线交于点G，根据两点间的距离公式可求AE＝1，FG＝3，再根据三角形面积公式可求△AEF的面积． 解：（1）∵正方形OABC的边长为2， ∴点D的纵坐标为2，即y＝2， 将y＝2代入y＝2x，得x＝1， ∴点D的坐标为（1，2）， ∵函数y的图象经过点D， ∴2， 解得k＝2， ∴函数y的表达式为y， ∴E（2，1），F（﹣1，﹣2）； （2）过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G， ∵E（2，1），F（﹣1，﹣2）， ∴AE＝1， FG＝2﹣（﹣1）＝3， ∴△AEF的面积为：AE•FG1×3． 分类训练 应用1 反比例函数与三角形的综合 1．如图，一次函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 应用2 反比例函数你与四边形的综合 类型1 反比例函数与平行四边形的综合 2．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，求n的值． 类型2 反比例函数与矩形的综合 3．如图，反比例函数的图象与矩形ABCO的边相交于E、F两点，且BE＝2AE，E（﹣1，2）． （1）求直线EF的解析式； （2）连接EF，求△BEF的面积． 类型3 反比例函数与菱形的综合 4．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）． （1）求k的值． （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在该函数的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离． 类型4 反比例函数与正方形的综合 5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，2），反比例函数（x＞0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D． （1）求k的值； （2）若点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围． 应用3 反比例函数与菱形、正方形的综合 6．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝2OB，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C． （1）求点C的坐标； （2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形 A'B'CD'，点A'恰好落在反比例函数的图象上，求此时点D'的坐标； （3）在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 应用4 反比例函数与正六边形的综合 7．如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2． （1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由； （2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标； （3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$