6.3.3&6.3.4 平面向量加、减、数乘运算的坐标表示（讲义，5考点+11题型）-2023-2024学年高一数学同步讲义与对点练（人教A版2019必修第二册）

6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 知识点一 平面向量的坐标运算 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若，则 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若，则 数乘 向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若，则 重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知向量的起点，终点，则 微点拨： ①向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关. ②当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． ③向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点的坐标才相同． 知识点二 平面向量共线的坐标表示 若，其中，则共线的充要条件式. 知识点三 有向线段定比分点坐标公式 1、中点坐标公式 若点的坐标分别是，线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 2、推广任意分点坐标公式 若线段的端点坐标分别是，点满足，则点的坐标为. 微点拨： (1)当时，点在线段上； (2)当时，点在线段的延长线上； (3)当时，点在线段的反向延长线上． 考点一 平面向量的坐标运算 向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行； (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算； (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 题型一 向量坐标运算的直接运用 1．（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求，，的坐标． 2．（2021·高一课时练习）已知向量，，，求： (1)； (2)； (3)的单位向量． 3．（2023下·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习），，．设，，，则 （用坐标表示）． 题型二 利用向量坐标运算求点的坐标 1．（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考期中）已知P，Q分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）已知点A的坐标为，点的坐标为，且，那么点的坐标为 题型三 利用向量坐标运算表示向量 1.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，若，则=（    ） A． B． C． D． 2．（2022下·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）已知向量和，则用和来表示是 ． 3．（2023·新疆·高三学业考试）已知，试用表示. 题型四 利用向量坐标运算求参数 1．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 2．（2024上·河北保定·高三河北阜平中学校联考期末）已知向量，，，若正实数，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2022下·高一单元测试）已知点，若第四象限的点P满足，则实数λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点二 平面向量共线的坐标表示及其应用 的充要条件有两种表达方式 (1)若． (2)若，其中，则共线的充要条件式. 题型一 向量共线的判定 1．（2023上·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考期中）设向量，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）下列向量中，与向量共线的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·河北邯郸·高二校考开学考试，多选）下列各对向量中，共线的是（    ） A． B． C． D． 题型二 三点共线 三点共线的实质、证明步骤及判断方法 (1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的． (2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成： ①证明向量平行；②证明两个向量有公共点． (3)方法： ①若，，，则三点共线的条件 ②任取两点构成向量，计算出两向量，如，再通过两向量共线的条件进行判断． 1．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列各组三点是否共线： (1)，，； (2)，，； (3)，，. 2．（2023下·贵州安顺·高一统考期末）若三点、、共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2022上·湖北孝感·高二大悟县第一中学校联考期中）设向量