6.2.1 向量的加法运算（分层作业）- 2023-2024学年高一数学同步备课系列（人教A版2019 必修第二册）

6.2.1　向量的加法运算（分层作业） （自主梳理+夯实基础+能力提升） 【自主梳理】 1.向量加法的定义 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 2.向量求和的法则 三角形 法则 如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 平行四边形法则 如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和. (1)向量加法的三角形法则要“首尾相接”. (2)应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”. 向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.　　　 3.|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b 时等号成立. 4.向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则.使用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾顺次相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0. 2.(1)要注意向量的几何表示，画出图形进行化简或计算. (2)要灵活运用向量加法的运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序. 　 【夯实基础】 题型1 向量的加法运算及其几何意义 1.（2021下·高一课时练习）化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（2023·高一课时练习）在中，，，分别为，，的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3.（2022·高一课前预习）正方形的边长为1，则为（    ） A．1 B． C．3 D． 4.（2023·全国·模拟预测）已知点，，在上且满足，点为坐标原点，，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5.（2023·高一课时练习）若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 　(1)用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”. (2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋An－1A1＝0. 题型2 向量的加法运算律 1.（2023·重庆·高二统考学业考试）在平行四边形中，，，则=（   ） A． B． C． 2.（2021·高一课时练习）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 3.（2023上·福建·高二校考期中）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4.（2023·高一单元测试）在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 5.（2023下·新疆·高一校考期末）化简下列各式: (1) (2) 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 题型3向量加法的实际应用 1.（2021·高一课时练习）两个大小相等的共点力与，若当它们的夹角为时合力大小为，则当它们的夹角为时合力大小为 ． 2.（2023·陕西咸阳·统考三模）已知圆的半径为1， ，，，为该圆上四个点，且，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3.（2021上·山东潍坊·高三统考阶段练习）五角星是指有五只尖角､并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 4.（2023下·高一课时练习）一条河的两岸平行,河水从西向东流去,一艘船从河的南岸某处出发驶向北岸,已知船的速度的大小为,水流速度的大小为,要使该船行驶的航程最短,则船速的方向与河的南岸上游的夹角为 A．30° B．45° C．60° D．90° 5.（2023下·高一课时练习）如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速