江苏省沛县第二中学2023-2024学年高三数学寒假作业（四）平面向量

沛县第二中学高三寒假作业（四） 平面向量 一、单选题 1．已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 2．已知向量 ，若与共线且同向，则实数λ的值为（    ） A．2 B．4 C． D．或4 3．若向量满足，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．在中，，且，则等于（    ） A． B． C． D．或 5．直角梯形中，角为直角，，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线 C．上的点到的距离均为 D．是两条平行直线 7．已知抛物线：，是坐标原点，过点的直线交于，两点，则的值（    ） A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．随着直线的变化而变化 8．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 9．如图，四边形中，，若，且，则面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 10．下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．已知点为双曲线上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为，则（） A． B． C． D．的最大值为 12．已知平面向量，，，，，，且，则（    ） A．与的夹角为 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．若，则的取值范围 13．已知椭圆上有不同两点，，，则（    ） A．若过原点，则 B．，的最小值为 C．若，则的最大值为9 D．，，异于点，若线段的垂直平分线与轴相交于点，则直线的斜率为 三、填空题 14．已知向量满足，则 . 15．已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则 . 16．已知是半径为1的球面上不同的三点，则的最小值为 . 17．如图所示，内切圆的圆心为I，若，，，则 .    四、解答题 18．如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交于点. (1)用向量与表示； (2)若，求和的值. 19．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于． (1)用和表示； (2)求证：． 20．已知中，内角所对的边分别为． (1)求角的值； (2)若点满足，且，求的值． 21．已知向量，向量，. (1)求的最小正周期； (2)求在上零点和极值点的个数. 22．已知中，角所对的边分别为. (1)求； (2)设是边上的点，且满足，求内切圆的半径. 23．如图，在中，已知，，，且，边上的两条中线，相交于点.    (1)求； (2)求的余弦值. 24．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，且，求. 25．已知点的坐标分别是，，直线相交于点M，且它们的斜率之积为． (1)求点M轨迹的方程； (2)若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 沛县第二中学高三寒假作业（四）参考答案： 1．D ∵与的夹角为钝角，∴，即． 当时，，解得， 当时，，此时反向共线，∴的取值范围是． 2．C因为，，且与共线且同向， 所以，解得或， 当时，，则，满足题意； 当时，，则，不满足题意；综上，. 3．D由，则， 由在上的投影向量. 4．C，故可得； 又，又，故为钝角，． 5．B因为，，所以 ， 可得，， 又，所以. 6．C设，由，则， 由在直线上，故， 化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行， 上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确. 7．B由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，与：联立方程，得：，令，则，，，所以. 8．B A选项，由题意可知， 则 ， ∴，所以选项A不正确； B选项，，又， ， ∴，所以选项B正确； C选项，， ， ， 则， ∴向量与的夹角是，所以选项C不正确； D选项，，， 设与所成角的平面角为， 因为 ， ， ， ∴ ，所以选项D不正确. 9．C 线段上取点E使得，又， 则，故， 所以，则， 设，. 由上易知，且，而， 所以，则， 结合及，且， 由三角形内角性质，所以， 综上，.    10．ACD 对于A，，，由零向量与任意向量共线，可知两个向量不能作为基底； 对于B，因为，，所以，所以两个向量不共线，可以作为基底； 对于C，因为，，所以，可知两个向量共线，故不可以作为基底； 对于D，由，，得：，可知两个向量共线，故不能作为基底； 11．BCD 对A，当趋近于无穷远处时，故A错误； 对B，设点，满