11.4.1　直线与平面垂直 导学案——2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

人教B版必修四 11．4.1　直线与平面垂直 导学案 课程标准 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明． ◆如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． 2．从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直的关系，归纳出以下判定定理． ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 3．能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题． 4．重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点一　直线与直线所成角 (1) 两条相交直线所成的角 两条相交直线所成的角的大小指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小． (2)异面直线所成角的定义 一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b____________的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小． (3)两条直线垂直 空间中两条直线____________________时，称这两条直线垂直． 知识点二　直线与平面垂直的定义 文字语言 图形语言 符号语言 如果直线l与平面α内的______直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 ________ 知识点三　直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的__________垂直，则这条直线与这个平面垂直 知识点四　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________ 符号语言 ________ 图形语言 文字语言 如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 符号语言 ________ 知识点五　直线与平面垂直的应用 1．斜线段、斜足的定义：如果A是平面α外一点，C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面α的________(相应地，直线AC称为平面α的斜线)，称C为斜足． 2．直线在平面内的射影、直线与平面所成的角：设AB是平面α的垂线段，B是垂足；AC是平面α的斜线段，C是斜足，则直线BC称为直线AC在平面α内的射影．特别地，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角． 基 础 自 测 1．在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是(　　) A．1　　 　B．2 C．3　　 　D．6 2．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 4．直线n⊥平面α，n∥l，直线m⊂α，则l，m的位置关系是________． 课堂探究·素养提升——强化创新性 题型1　线线角、线面角的求解、线面垂直的定义及判定定理的理解(数学运算、直观想象) 例1　(1)下列说法中正确的个数是(　　) ①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直． A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 (2)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则B1D与CC1所成角的正切值为________； (3)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．135° 方法归纳 1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内． 2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线． 3．求异面直线所成角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求． 4．求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面