6.3.1&6.3.2 平面向量基本定理与正交分解及坐标表示（讲义，3考点+4题型）-2023-2024学年高一数学同步讲义与对点练（人教A版2019必修第二册）

6.3.1平面向量基本定理 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 知识点一 平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 条件 如果是同一平面内的两个不共线向量 结论 那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底 若不共线，把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 微点拨： ①两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． ②一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． ③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 知识点二 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 微点拨：正交分解中的两个基向量互相垂直，构成正交基底． 知识点三 平面向量的坐标表示 1、向量的坐标：在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底．对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得． 这样平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作． 2、向量的坐标表示： 3、特殊向量的坐标：在直角坐标平面中， 微点拨： ①表示点的坐标与表示向量的坐标不同，． ②当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同． ③给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一对实数，由于向量可以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个. ④两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同． 考点一 平面向量基本定理 题型一 基底概念的理解 1.（2023·全国·高一专题练习）下面说法中，正确的是( ) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量； ④对于平面内的任一向量和一组基底，，使=λ+μ成立的实数对一定是唯一的. A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④ 2.（2022·安徽芜湖·高二校考开学考试，多选）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ） A．给定向量，总存在向量，使； B．给定向量和，总存在实数和，使； C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； D．若，存在单位向量和正实数，使，则. 3．（2021下·高一课时练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2021下·广东深圳·高一红岭中学校考期中，多选）向量都是非零向量，满足下面哪个条件时，可以充当该平面的基底（    ） A． B． C． D． 题型二 用基底表示向量 提分笔记 (1)基底的选择，一般遵循“模已知、夹角已知”的原则． (2)利用已知向量表示未知向量时，通常借助向量加法、减法、数乘运算的几何意义，将向量集中在封闭的图形中，利用三角形法则或平行四边形法则快速找到表示法． (3)方法： 方法一：利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止． 方法二：列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． 1．（2023·全国·高一课堂例题）如图，的对角线AC和BD交于点M，，，试用基底，表示，，和．      2．（2023·全国·高一随堂练习）如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.    3．（2024上·辽宁大连·高一期末）如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.    (1)试用基底表示向量； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值. 考点二 平面向量基本定理的应用 题型一 利用平面向量基本定理求参数 1．（2023·全国·高一随堂练习）已知平面一组基底，实数x，y满足：，求x，y的值． 2．（2024上·北京昌平·高一统考期末）在中，点D，E满足，.若，则 . 3．（2023上·四川内江·高三四川省内江市第二中学校考阶段练习）在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为 . 4．（2024上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点． (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 题型二 平面向量基本定理在几何中的应用 利用向量解决几何问题的一般思路 (1)选取不共线的两个平面向量作为基底． (2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题． (3)