28.2.1 解直角三角形 同步分层作业-2023-2024学年数学九年级下册（人教版）

28.2.1 解直角三角形 1.解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程。 2．在解直角三角形的过程中用到的关系:(在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，) （1）三边之间的关系：a2+b2=c2；(勾股定理) （2)两锐角的关系：∠A+∠B=90°; （3)边与角之间的关系： sinA=a/c；(a=csinA) cosA=b/c；(b=ccosA) tanA=a/b。 sinA=cosBcosA=sinBsinA=cos(90°-A) sin2α+cos2α=1 ：基础过关练 一、单选题 1．如图，、分别是矩形的边、上点，且，，以边上点为圆心作，以边上点为圆心作，且所在的与所在的相切于点，若，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，点M是的中点，点P是上一点，与相交于点N，连接，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，是斜边上的高，将得到的两个和按图、图、图三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为，，，若，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度 米． 6．图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架和两个大小相同的车轮组成，已知，，，当，，F在同一水平高度上时，135°，则 ；为方便存放，将车架前部分绕着点D旋转至，如图3所示，则为 ． 7．6个半径为1的圆如图摆放，且相邻的两圆相互外切，圆心连线构成一个等边三角形，则阴影部分的面积是 ． 8．如图，四边形是边长为5的菱形，，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，点、旋转后的对应点分别为、，连接，在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，线段的长为 ． ：培优提升练 三、解答题 9．已知，. (1)如图1，，点是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转到，连接，．若，，求的面积； (2)如图2，若，点在边上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交于点，连接，，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，，点是线段上的一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于点交的延长线于点，过点分别作于点，作于点，连接，当取最大值时，请直接写出的面积． 10．如图1，是的内接三角形，是的切线，为切点，且． (1)求证：； (2)如图2，过作的垂线，垂足为，直线与的另一个交点为点，若，，求的半径： (3)在（2）的条件下，将直线沿着射线方向平移，请直接写出直线将分成弧长之比为的两部分时平移的距离． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴的交点分别为，且经过两点的抛物线与轴的另外一个交点为点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知是直线下方的抛物线上的一动点（不包括两点）． ①过点E作与x轴垂直的直线交直线于点，若点为轴上的一动点，当线段的长度最大时，求的最小值； ②当时，求点的坐标． 12．【问题提出】 （1）如图1，在中，，，，则______． 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，在矩形内部有一动点，满足．小明打算找出到的最短距离．他的操作如下： 在上取一点，使得，连接，作的外接圆，圆心为，为直径，过点作的垂线，交于点，交于点，此时到的距离最短． 问：以上操作是否合理？若合理，请求出到的最短距离．若不合理，请说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某学校的人工智能教室是矩形形状，其中米，米，为了提高课堂上小组合作学习的效率，学校想把教室设计成几部分．设计思路如下：在矩形内部找一点，连接，，，使得，且．其中是老师课堂展示部分，是小组合作交流部分，剩下的四边形是学生创造性设计部分．请计算课堂展示部分的面积． 13．如图，在中，，，将边绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接． (1)如图1，若于点，求点A到的距离； (2)如图2，证明：； (3)如图3，若点在平面内运动，取中点，连接，直接写出线段的最大值． 14．在中，弦、交于点，连接、、，，于点．    (1)求证：； (2)为弦中点，过点作，连接，并延长交于，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的直径． 1．A 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角函数、分式方程、矩形的性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 如图：连接，，过点作于点，先根据四边形是矩形、和得到，进一步设，则，，并根据构造方程求出，，再设的半径为，的半径为，则，，，，在中根据勾股定理构造方程求