备战2024年高考数学新模式新题型——数学与阅读理解 讲义

（2023上·北京朝阳·高三统考期中/24南通）已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质： ①； ②对任意，存在，使得，则称为数表． (1)判断是否为数表，并求的值； (2)若数表满足，求中各数之和的最小值； (3)证明：对任意数表，存在，使得． 【答案】(1)是； (2) (3)证明见详解 【分析】（1）根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可； （2）根据条件讨论的值，根据，得到相关的值， 进行最小值求和即可； （3）当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接，则该行有条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明. 【详解】（1）是数表， （2）由题可知. 当时，有， 所以. 当时，有， 所以. 所以 所以 或者， 或者， 或，或， 故各数之和， 当时， 各数之和取得最小值. （3）由于数表中共个数字， 必然存在，使得数表中的个数满足 设第行中的个数为 当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接， 则该行有条有向线段， 所以横向有向线段的起点总数 设第列中的个数为. 当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接， 则该列有条有向线段， 所以纵向有向线段的起点总数 所以, 因为,所以. 所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点， 即存在 使得， 所以， 则命题得证. (镇海高三期末)19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数） （1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率； （2）求椭圆在处的曲率； （3）定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据所给定义求解即可. （2）直接利用定义求解即可. （3）合理构造给定式子，转化一元函数，结合高观点极限方法求解即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ，，， 故，，故． 【小问3详解】 ，，故，其中， 令，，则，则，其中（不妨） 令，在递减，在递增，故； 令， ，令， 则，当时，恒成立，故在上单调递增， 可得，即， 故有， 则在递增， 又，，故， 故． 【点睛】关键点点睛：本题考查求导数新定义，解题关键是将给定式子合理转化为一元函数，然后利用极限方法求得关键函数值域，最终即可求解． （合肥一中期末）19．同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（modm）（“|”为整除符号）． （1）解同余方程（mod3）； （2）设（1）中方程的所有正根构成数列，其中． ①若（），数列的前n项和为，求； ②若（），求数列的前n项和． 解：（1）由题意（mod3），所以或（），即或（）． （2）由（1）可得为，所以． ①因为（），所以． ． ②（）． 因为， 所以 ． （北京西城）21. 给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中. （1）当，时，写出所有满足的数对序列； （2）当时，证明：； （3）当为奇数时，记的最大值为，求. 【答案】（1）或 （2）证明详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用列举法求得正确答案. （2）利用组合数公式求得的一个大致范围，然后根据序列满足的性质证得. （3）先证明，然后利用累加法求得. 【小问1详解】 依题意，当，时有： 或. 【小问2详解】 当时， 因为与不同时在数对序列中， 所以，所以每个数至多出现次， 又因为， 所以只有对应的数可以出现次， 所以. 【小问3详解】 当为奇数时，先证明. 因为与不同时在数对序列中， 所以， 当时，构造恰有项，且首项的第个分量与末项的第个分量都为. 对奇数，如果和可以构造一个恰有项的序列，且首项的第个分量与末项的第个分量都为， 那么多奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列： 首先，对于如下个数对集合： ， ， …… ， ， 每个集合中都至多有一个数对出现在序列中， 所以， 其次，对每个不大于的偶数， 将如下个数对并为一组： ， 共得到组，将这组对数以及， 按如下方式补充