28.2.2解直角三角形应用举例 同步练 2023-2024学年人教版数学九年级下册

解直角三角形应用举例 视角、方位角、坡角的应用 点石成金 1.仰角和俯角是视线相对于水平线而言的,不同位置的仰角和俯角是不同的,可巧记为“上仰下俯”; 2.视线、水平线、物体的高构成直角三角形,已知仰角(俯角)和一边,利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度; 3.弄清仰角、俯角的定义,根据题意画出几何图形,将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解; 4.解决与方位角有关的实际问题时,必须先在每个位置中心建立方向标,然后根据方位角的度数,最后在某个直角三角形内内利用锐角三角函数解决问题 5.坡角:坡面与水平面所成的夹角. 6.坡度(坡比):我们通常把坡面的铅垂高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(坡比),坡度(坡比)也可写成的形式,在实际应用中常表示成1∶x的形式. 认知基础练 知识点1仰角的应用 1.在一次综合实践活动中,某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量.如图,在塔前C处,测得该塔顶端B的仰角为50 ,后退60m(CD=60m)到D处有一平台,在高2m(DE=2m)的平台上的E处,测得B的仰角为26.6 .则该电视发射塔的高度AB为 m.(精确到1m.参考数据:tan50 ≈1.2,tan26.6 ≈0.5) 知识点2 俯角的应用 2.综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45 ,尚美楼顶部F的俯角为30 ,已知博雅楼高度CE为15米,则尚美楼高度DF为 米.(结果保留根号) 3.如图,无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30 ,底部C的俯角为60 ,无人机与旗杆的水平距离AD为6m,则该校的旗杆高约为 m.(1.73,结果精确到0.1) 知识点3 同一点的方位角的应用 4.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东72 方向,距离灯塔100nmile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东40 方向上的B处.这时,B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?(参考数据:sin72 ≈0.95,cos72 ≈0.31,tan72 ≈3.08,sin40 ≈0.64,cos40 ≈0.77,tan40 ≈0.84) 知识点4 不同点的方位角的应用 5.为了美化环境,提高民众的生活质量,市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE,并沿湖泊修建了人行步道.如图,点C在点A的正东方向170米处,点E在点A的正北方向,点B、D都在点C的正北方向,BD长为100米,点B在点A的北偏东30 方向,点D在点E的北偏东58 方向. (1)求步道DE的长度; (2)点D处有一个小商店,某人从点A出发沿人行步道去商店购物,可以经点B到达点D,也可以经点E到达点D,请通过计算说明他走哪条路较近.(结果精确到个位) (参考数据:sin58 ≈0.85,cos58 ≈0.53,tan58 ≈1.60,1.73) 知识点5 只含单一坡角的应用 6.如图,粮库用传送带传送粮袋,大转动轮的半径为10cm,传送带与水平面成30 角.假设传送带与转动轮之间无滑动,当大转动轮转140 时,传送带上点A处的粮袋上升的高度是多少?(传送带厚度忽略不计) 知识点6 多个坡角的应用 7.渔湾是国家“AAAA”级风景区,图1是景区游览的部分示意图.如图2,小卓从九孔桥A处出发,沿着坡角为48 的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布,再沿坡角为37 的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布.求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米?(结果精确到0.1m) (参考数据:sin48 ≈0.74,cos48 ≈0.67,sin37 ≈0.60,cos37 ≈0.80) 素养提升练 提升1 利用视角测量水深 8.如图,某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O,其中水面截线MN∥AB.嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14 ,点M的俯角为7 .已知爸爸的身高为1.7m. (1)求∠C的大小及AB的长; (2)请在图中画出线段DH,用其长度表示最大水深(不说理由),并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位). (参考数据:tan76 取4,取4.1) 提升2 利用视角测量物高 9.小王同学学习了锐角三角函数后,通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置,他认为利用台阶的可测数据与在点A,B处测出点D的仰角度数,可以求出信号塔DE的高.如图,AB的长为5m,高BC为3m.他在点A处测得点D的仰角为45 ,在点B处测得点D的仰角为38.7 .A,B,C,D,E在同一平面内. 你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗?若能,请求出信号塔DE的高;若不能,请说明理由.(参考数据:sin38.7 ≈0.625,cos38.7 ≈0.