2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题

2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题 一．定点问题（共3小题） 1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）； （2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离； （3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点． 2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）． （1）求抛物线的解析式； （2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点． ①求k1k2的值； ②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点． 3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON （1）求m的值； （2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标； （3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为xP′、xQ′，且xP′⋅xQ′＝4，求证：直线PQ经过定点． 二．定值问题（共2小题） 4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标； （3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值． 5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1． （1）求抛物线C1的解析式； （2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值； （3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由． 三．线段之积（共2小题） 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标． （3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由． 7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）． （1）求抛物线的解析式； （2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点． ①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值； ②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值． 四．线段数量关系（共5小题） 8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． （1）直接写出点A，B的坐标； （2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标； （3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH． 9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）． （1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系； （2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）． ①