10.1.1 复数的概念 导学案——2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

人教B版必修四 10．1.1　复数的概念 导学案 （原卷+答案） 课程标准 1.通过方程的解，认识复数． 2．理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点一　复数的有关概念 1．复数 (1)定义：设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数，其中i叫做________，满足i2＝________，a叫做复数的________，b叫做复数的________． (2)表示方法：复数通常用________表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式． 2．复数集 (1)定义：________所构成的集合叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母C表示． 3．复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔______，a＋bi＝0⇔____________． 知识点二　复数的分类 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系： 基 础 自 测 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　) (2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．(　　) (3)两个虚数不能比较大小．(　　) 2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　) A．－2 B． C．－ D．2 3．复数(2－)i的虚部为(　　) A．2 B．－ C．2－ D．0 4．已知(2m－5n)＋3i＝3n－(m＋5)i，m，n∈R，则m＋n＝________． 课堂探究·素养提升——强化创新性 题型1　复数的有关概念 例1　(1)下列命题中，真命题的个数是(　　) ①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A．0　　　B．1 C．2　　　D．3 (2)给出下列三个命题： ①若z∈C，则z2≥0； ②2i－1虚部是2i； ③2i的实部是0. 其中真命题的个数为(　　) A．0　　　B．1 C．2　　　D．3 (3)请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． ①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0. 方法归纳 1．正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”“先否定，后肯定”的方法进行解答． 2．准确理解复数的实部与虚部的概念 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚数单位的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 跟踪训练1　(1)复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的________条件． (2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　) A．，1 B．，5 C．±，5 D．±，1 题型2　复数的分类 例2　已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 方法归纳 利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意考虑问题要全面． 跟踪训练2　已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时： (1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z＝－4i. 题型3　复数相等的条件 例3　(1)已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x，y的值． 根据复数相等的充要条件求解． (2)已知关于x的方程(x2＋x＋3m)－(2x＋1)i＝0有实数根，求实数m的值． 方法归纳 应用复数相等的充要条件时，要注意： (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组． (2)利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要． 跟踪训练3　(1)若(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0，求实数x的值； (2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，则实数a的值为________． 题型4　复数的不相等关系 【思考探究】　1.4＋2i>3＋i正确吗？ [提示]　不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小． 2．若(a－2)＋bi>0，则实数