2.5 简单复合函数的求导法则4种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

2.5 简单复合函数的求导法则4种常见考法归类 课程标准 学习目标 能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 1.了解复合函数的概念．(数学抽象) 2．利用复合函数的求导法则会求简单复合函数的导数．(数学运算) 3．利用复合函数的求导法则会解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算) 知识点01复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量． 【即学即练1】【多选】（2024高二课堂练习）下列所给函数为复合函数的是(　　) A．y＝ln (x－2)　　　　　B．y＝ln x＋x－2 C．y＝(x－2)ln x D．y＝ln 2x 【即学即练2】【多选】（2024高二课堂练习）下列哪些函数是复合函数(　　) A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2 C．y＝esin x D．y＝sin 知识点02复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′．即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积． 注：　(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数． (2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y ′＝(ax＋b) ′·f ′(ax＋b)＝af ′(ax＋b)． 【即学即练3】（2024高二课堂练习）求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝cos(x2)； (3)y＝log2(2x＋1)； (4)y＝e3x＋2. 题型一：求复合函数的导数 例1.（2024高二课堂练习）求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝5log2(1－x)； (3)y＝sin. 变式1.（2024高二课堂练习）求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 变式2.（2024高二课堂练习）设函数，则函数的导函数等于 （ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 复合函数求导的步骤 题型二：利用复合函数求导法则求值 例2.（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）若函数，则（    ） A． B． C． D． 变式1.（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）已知函数，则= . 变式2.（2024高二课堂练习）已知函数在上可导，函数，则等于（ ） A． B．0 C．1 D．2 变式3.（2024高二课堂练习）设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________. 题型三：复合函数的导数与曲线的切线问题 例3.（2024上·山西阳泉·高三统考期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 变式1.（2024上·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（    ） A．1 B． C．2 D． 变式2.（2024高二课堂练习）曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D．1 变式3.（2024高二课堂练习）曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程． 变式4.（山西省运城市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试题）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C． D． 变式5.（2024上·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）已知分别是曲线和上的点，其中是自然对数的底数，则的最小值为 ． 变式6.（2024·山西临汾·统考一模）设函数，，曲线有两条斜率为的切线，则实数的取值范围是 . 【方法技巧与总结】 准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． 题型四：复合函数的导数在实际问题中的应用 例4.（2024高二课堂练习）某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义． 变式1.（2023上·海南·高三校联考阶段练习）烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 . 变式2.（2024上·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校联考期末）盐城沿海滩涂湿地现已发现高等植物55