28.1锐角三角函数第3课时 特殊角的三角函数值 同步练 2023-2024学年人教版数学九年级下册

28.1 锐角三角函数 第3课时 特殊角的三角函数值 点石成金 用特殊角的三角函数值求线段长度的“三部曲”：第一步，找到图中的直角三角形或构造直角三角形；第二部，选用锐角三角函数列出算式；第三步，利用特殊角的三角函数值进行计算。 认知基础练 知识点1 特殊角的三角函数值 1．的值等于（　　） A．1 B． C． D．2 2．爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（　　）（参考数据：1.732，1.414） A．58J B．159J C．1025J D．1732J 3．定义一种运算： sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ， sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ． 例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°），则sin15°的值为 　 　． 4．为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝4cm，则这张光盘的半径是 　 　cm．（精确到0.1cm．参考数据：1.73） 5．如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为 　 　米．（结果保留根号） 6．计算． 知识点2 特殊三角函数值的对应角 7．已知∠α为锐角，且sinα，则∠α＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA，cosB，则△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 知识点3 锐角三角函数间的关系 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是（　　） A．tanA B．sin2A+cos2A＝1 C．sin2A+sin2B＝1 D．tanA•tanB＝1 10．已知α、β都是锐角，如果sinα＝cosβ，那么α与β之间满足的关系是（　　） A．α＝β B．α+β＝90° C．α﹣β＝90° D．β﹣α＝90° 易错点 误认为余弦值的一半等于半角的余弦值而致错 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC，则tan的值为（　　） A． B． C． D． 素养提升练 提升1 利用特殊角的三角函数值计算 12．（1）在计算时，小亮的计算过程如下： 解： ＝﹣2 小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号： ①﹣22＝4；②（﹣1）10＝﹣1；③|﹣6|＝﹣6； 　 　． 提升2 利用同角正弦、余弦的关系求函数值 13．把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题． （1）sin2A1+cos2A1＝　 　，sin2A2+cos2A2＝　 　，sin2A3+cos2A3＝　 　； （2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A+cos2A＝　 　； （3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想： （4）已知在△ABC中，∠A+∠B＝90°，且sinA，求cosA． 提升3 利用特殊角的三角函数值解测量应用 14．某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表： 实践探究活动记录表 活动内容测量湖边A、B两处的距离 成员ㅤㅤ组长：××ㅤㅤ组员：×××××××××××× 工具测角仪，皮尺等 测量示意图 说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数． 测量数据 角的度数 ∠A＝30° ∠B＝45° ∠C＝105° 边的长度 BC＝40.0米 AC＝56.4米 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补