5.1 相交线（十大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年七年级数学下册同步精讲精练（人教版）

七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》 5.1 相 交 线 知识点一 邻补角、对顶角的概念及其性质 ★1、邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图中∠1 和∠2，∠1 和∠3 都互为邻补角. ★2、邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．互为邻补角是互为补角的特殊情况. 如上图：∠1 +∠2=180°， ∠1 +∠3 =180°. 【注意】 （1）邻补角是成对出现的，单独的一个角或两个以上的角不能称为邻补角. （2）邻补角不一定都是两条直线相交形成的，一条直线与射线(端点在直线上)相交，也可以得到一对邻补角. （3）互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角. ★3、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图中∠1 与∠3 互为对顶角，∠2 与∠4 互为对顶角. 【注意】对顶角是成对出现的，指两个角之间的关系，一个角的对顶角只有一个. ★4、对顶角的性质：对顶角相等．如图，因为直线 AB 与 CD 相交于 O 点，所以∠1=∠3，∠2=∠4. 【注意】两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角. 知识点二 垂线的概念、画法及其性质 ★1、垂线的概念： 垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 【注意】两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况. ★2、垂直的表示方法： 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足. 如图，①若 AB⊥CD，则∠BOC =∠AOC =∠AOD =∠BOD =90°； ②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD. ★3、垂线的画法 一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点； 三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线． ★4、垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【注意】①不能忽略“在同一平面内”这个条件，因为如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直. ②“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以． 知识点三 垂线段与点到直线的距离 ★1、垂线段： 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． ★2、垂线段的性质： 连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短． 【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． ★3、点到直线的距离： （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 如图，线段 AD 的长度是点 A 到直线 l 的距离. 知识点四 同位角、内错角、同旁内角 ★1、同位角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． ★2、内错角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． ★3、同旁内角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． ★4、 同位角、内错角、同旁内角的特征 【注意】三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 题型一 邻补角的识别和性质 【例题1】（2023春•路北区期中）下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 解题技巧提炼 1、邻补角的识别方法：互为邻补角的两个角必须满足以下条件：①有一条公共边；②另一条边互为反向延长线. 二者缺一不可. 2、邻补角的性质：邻补角互补. 【变式1-1】邻补角是（ ） A.和为180°的两个角；