27.2.3　相似三角形应用举例教案2023-2024学年人教版九年级数学下册

27.2.3相似三角形应用举例 教师备课素材示例 一、新课导入建议与示例 ●复习导入1相似三角形的判定方法有哪些？ (1)平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似： (2)两角分别相等的两个三角形相似： (3)三边成比例的两个三角形相似： (4)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 2.相似三角形的性质有哪些？ (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例： (2)相似三角形对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比： (3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 【教学与建议】教学：复习相似三角形的判定和性质，为本课时解决相似三角形的实际问题奠定基础，建议： 学生如果出现回答不完整现象，其他同学相互补充 ●悬念激趣胡夫金字塔是现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇迹之一”塔的4个斜面正对 东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约二百三十多米.据考证，为建成大金字塔，共动用了10多万人花 了约20年时间，大金字塔原高14659m,但经过几千年的风吹雨打，项端风化，所以高度有所降低， 在古希脂，有一位伟大的数学家、天文学家叫泰勒斯.他曾测量出大金字塔的高度，你知道泰勒斯是怎样测 量大金字塔的高度的吗？ 【教学与建议】教学：通过悬念问题的提出，让学生了解了本节课要探讨的问题方向，建议：对于测量问题 ，可以让学生小组讨论提出测量方案，作为一个专题完成学习。 二、命题热点分析与示例 *命题角度】利用影长求物体的高度 在阳光或者路灯的照射下，物、光线、影子构成的三角形相似，利用对应边成比例求线段长度. 【例1】如图，身高为1.5m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点 时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3m,CA=1m,则树的高度为(D) A.3m B.4m C.4.5m D.6m (例1题图) (例2题图) 【例2】在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2.5m,它的影长BC=2m,木杆 PQ的影子有一部分落在了培上，PM=1.8m,N=12m,则木杆PQ的长度为345m *命题角度2利用标杆或三角尺求物高 借助于标杆或三角尺，通过视线来构造相似直角三角形，进而利用对应边成比例解决问题 【例3】如图，小明同学用自制的直角三角纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置，设法使斜边 DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF 离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB=55m 0 命题角度3利用平面镜反射原理测量物高 平面镜反射光线时，入射角等于反射角，由此可构造相似的两个直角三角形，从而利用相似三角形的性质解 决问题. 【例4】如图是小明设计用手电来测量某古城高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经 平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测量AB=12m,BP=1.8m,PD =12m,那么该古城墙的高度是(B) y%777 D A.6m B.8m C.18m D.24m *命题角度4利用相似测宽度 测量河、湖等宽度时，通常构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求宽度. 【例5】如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC, CD⊥BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河 的宽度AB等于(B) A.60mB.40mC.30mD.20m *命题角度5多次利用相似三角形测高 根据题意构造两对相似的直角三角形，利用相似三角形的性质求出物体的高. 【例6】如图，一人拿着一支刻有厘米分度的小尺，他站在距电线杆约30m的地方，把手臂向前伸直，小 尺竖直，看到尺上约12个分度恰好遮住电线杆，已知臂长约60cm,则电线杆的高是6m. 高效课堂教学设计 一、教学目标 1.能够运用相似三角形的知识，解决不能直接测量的物体的长度或高度等一些实际问题 2.能够根据同一时刻，物高与影长成比例，解决太阳光下的影长问题. 3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决 问题的能力. 二、教学重难点 ▲重点 运用相似的判定和性质定理解决实际问趣， ▲难点 在实际问题中建立数学模型， 三、教学设计 ◆活动1新课导入 你看过或听过解密埃及金字塔的故事吗？你知道古希腊数学家泰勒斯是怎样求出金字塔的高度的吗？ ◆活动2探究新知 1.教材P39例4 提出问题： (1)本例中是如何构造相似三角形求高的？ (②)在太阳光下，如何利用影长求物体高度，你能从中得出什么结论？ 学生完