5.5.2 二倍角的正弦，余弦，正切公式 教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课题 二倍角的正弦、余弦、正切公式 教学目标 教学目标： 1. 了解二倍角的正弦、余弦、正切公式，会运用公式进行简单的三角恒等变换； 2. 经历二倍角公式推导过程，感悟从一般到特殊的研究方法，体会转化和换元的思想； 3. 发展逻辑推理和数学运算的核心素养，培养数学整体观. 教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式 教学难点：二倍角公式在三角恒等变换中的应用 教学过程 时 间 教学 环节 主要师生活动 复 习 引入 上节课我们由两角差的余弦公式，得到了两角和与差的正弦、余弦、 正切共六个公式，我们一起来回顾一下上一节课具体的探究思路： 我们当时已经得到的是两角差的余弦公式： cos (a -b) = cosa cos b+ sin asin b， 首先我们将两角差的余弦公式中b替换为-b，得到了两角和的余弦公 式：cos (a + b) = cosa cos b- sin asin b， 然后我们为了改变三角函数名，借助诱导公式得到了两角和与差的正 弦公式：sin(a + b) = sin a cos b+ cosasin b； sin(a -b) = sin a cos b- cosasin b， 最后利用同角关系将正切转化为正余弦，得到了两角和与差的正切公 累 计 4 分 钟 探 究 新知 式：tan (a + b) = 1ta- tan (n a)a (+)× ta (tan)n b (b) ；tan (a -b) = 1tan a (n a -)tan b (an b) . 以及上一节课我们也说到，正切的公式使用起来有相应角范围的限制， 也就是正切值都要存在。例如这个两角和的正切公式，要求a，b均不 等于 + kπ（k Î Z），并且a + b也不等于 + kπ（k Î Z），如果碰到相 应的情况例如已知tana 去求tan - a ，就不能用两角差的正切公式 了，只能通过同角关系转化回正余弦求解了。 那回顾完之前的内容，今天我们在这六个和角、差角公式的基础上， 来探究倍角公式。 （一）探究二倍角的正弦、余弦、正切公式 我们先来看二倍角的正弦公式 【问题 1.1】我们需要求的sin 2a和已知的sin(a ± b) 公式形式上有什 么联系吗？ 我们发现它们都是角的正弦，只是角的形式不同，但不同角的形式从 运算或换元的角度都有内在联系，因此基于差异可以建立联系，进行 转化。 【问题 1.2】你能类比上一节课的探究过程，利用 S(a±b) 公式推导出 sin 2a 的公式吗？ 我们比较sin 2a和sin(a ± b) ，注意到2a = a +a ，由于两角和的正弦 公式对任意的a, b 都成立，那么把其中的b换为a 后，也一定成立。 则由公式S(a+b) ，有sin 2a = sin(a +a) = sin a cosa + cosasin a = 2sin a cosa 刚刚我们的推导过程是借助S(a+b)来完成的，如果用S(a-b)来完成推导 方法也基本相同，把公式中的-b替换为a 即可。 这样我们就得到了二倍角的正弦公式。 这个推导过程实质上是一个从一般到特殊的推导过程，后续这样的方 法在三角恒等变换中非常有用。 【 问 题 1.3 】 你 能 仿 照 刚 刚 的 推 导 过 程 ， 利 用 C(a±b) , T(a±b) 得 到 cos 2a, tan 2a 的公式吗？ 和刚才一样，我们将cos (a + b) ，tan (a + b)公式中的b换为a 后，得 到： cos 2a = cos (a +a) = cosa cosa - sin asin a = cos2 a - sin2 a tan 2a = tan(a +a) = 1-tatnan (a)a (+)´ t (ta)a (n)na (a) = 1-2 t (t)a (a)n (n)2a (a) 【问题 1.4】如果要求二倍角的余弦公式中仅含a 的正弦或者余弦，那 么cos 2a还有其它的表示形式吗？ 我们可以借助同角关系sin2 a + cos2 a = 1 进行形式上的等价转化： ( 2 2 ( 2 ) 2 2 )cos 2a = cos a - sin a = 1- sin a - sin a = 1- 2sin a cos 2a = cos2 a - sin2 a = cos2 a - (1- cos2 a) = 2 cos2 a - 1 【过渡】以上这些公式都叫做倍角公式. 倍角公式给出了a 的三角函 数