4.3.2 对数的运算(第1课时)教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课题 对数运算（1） 教学目标 教学目标： 1.理解并掌握对数的运算性质，并进行简单的计算； 2.在运算中进一步理解对数的概念，体会对数与指数之间的关系； 3.在运算中培养数学运算和逻辑推理的学科素养. 教学重点：理解对数的运算性质. 教学难点：恰当使用对数运算性质进行计算. 教学过程 时间 教学环节 主要师生活动 5 分钟 复习引入 一．复习对数概念及指数幂运算性质 1. 对数的概念 一般地，如果 ax = N (a > 0, 且a 子1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作 x = loga N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数. 例如，如果 2x = 5 ，那么 x = log2 5. 其中 2 叫做对数的底数，5 叫做真数. 2. 对数与指数的关系 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系： 当a > 0, a 子 1时，ax = N 常 x = loga N. 例如， 3x = 2 常 x = log3 2 ，即3log32 = 2. 3. 指数幂运算性质 对于任意实数 r ， s ，均有下面的运算性质. a r . as = a r +s (a > 0, r , s E R ) , ( a r = a rs a > , r , s E R ， )( )s ( 0 ) (ab )r = a rbr (a > 0, b > 0, r E R). 二．提出问题：依据对数和指数的关系，能否利用指数幂运算的性质得出相应的 对数运算的性质？ 1 学科网（北京）股份有限公司 10 分钟 探究新知 一．利用同底数幂乘法的运算性质推导对数运算性质 观察同底数幂乘法的运算性质： a r . as = a r+s (a > 0, r , s E R). 等式左边两个同底数幂 ar 与as 相乘，等式右边指数相加. 利用指数与对数的关系， 设M=ar ，N = as ， 即r = log a M , s = loga N. 因为ar . as = ar +s ， 所以MN = ar +s ， 所以loga (MN) = r + s ， 故loga (MN) = loga M + loga N . 进而得到对数运算的第一个性质. 思考：对数的这个性质还可以怎样证明？ 设 m = log a M , n = loga N, 即M=am，N = a n ， 则log a M + loga N = m + n. 因为MN = am . an = am+n ， 所以loga (MN) = m + n ， 所以loga (MN) = log a M + loga N . 二．利用同底数幂除法的运算性质推导对数运算性质 观察同底数幂除法的运算性质： a r 政 as = a r 一s (a > 0, r , s E R). 等式左边两个同底数幂 ar 除以as ，等式右边指数相减. 利用指数与对数的关系， 设M=ar ，N = as ， 即r = log a M , s = loga N. 因为ar 政 as = ar 一s ， 所以 = ar 一s ， 2 学科网（北京）股份有限公司 loga = r 一 s ， 所以loga = loga M 一 loga N . 进而得到对数运算的第二个性质. 从除法与乘法之间的关系证明： 因为 = MN一 1 ， 所以loga = loga (MN一 1 ) = log a M +loga N一 1 , 故loga = log a M 一 loga N . 三．利用幂的乘方的运算性质推导对数运算性质 观察幂的乘方的运算性质： (am )n = a mn (a > 0, m, n e R) . 等式左边幂 am 的n 次方 ，等式右边指数相乘. 利用指数与对数的关系， 设M=am , 即m = log a M . ( n m mn n mn )因为(a ) = a , 所以M = a loga M n = mn ， 所以loga M n = n log a M. 进而得到对数运算的第三个性质. 综上所述，对数运算具有如下性质. 如果a > 0, 且a 牛 1, M > 0, N > 0, 那么 （1）log a (MN) = lo