4.3.2 对数的运算（第二课时）教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课题 对数的运算（2） 教学目标 教学目标： 1. 经历换底公式的探究，证明过程，初步理解换底公式，并能利用公式实现其他底数的对数的运 算； 2. 在换底公式的证明中，体会指数与对数的内在联系，提升转化与化归思想方法的认识与应用； 3. 利用换底公式完成对数计算中，感受对数运算的意义，提升数学运算的素养. 教学重点：换底公式的认识和初步应用。 教学难点：换底公式的推导 教学过程 时间 教学环节 主要师生活动 1 分 钟 一 .确复 习回顾 二 ．探索 新知 问题 1：请回忆对数的运算性质 如果a > 0, 且a ¹ 1 ，M > 0, N > 0 ,那么 （1）loga (MN) = log M + log N ； log a M = log M - log N （2） N ; （3）loga M n = nlog a M (n ÎR). 5 分 钟 【教师讲解】 数学史上,人们经过大量的努力,制作了常用对数表和自然对数表,只 要通过表就能求出任意正数的常用对数或自然对数,现在,利用计算工具, 也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数,这样,如果能将其他底 的对数转换为以 10 或 e 为底的对数，就能方便地求出这些对数。 探究： (1) 利用计算工具求ln 2 ，ln 3 的近似值； (2) 根据对数的定义，你能利用ln 2 ，ln 3 的值 求log2 3 的值吗？ 【师生互动】需要将此式进行变形，请问变形的方向是什么呢？ 根据要求，我们要构造ln 2 和ln 3 ， 需要把 2 或 3 分离出来。 设log2 3 = x ，则2x = 3 ，我们就可以把 3 分离出来了 于是ln 2x = ln 3 ，即x ln 2 = ln 3 ，这样就出现已知中的 ln3 和 ln2 了。 则x = log2 3 = ln 2 (ln 3) » 1.585 . 3 ．根据对数的定义 ，你能用 logc a 和 log c b 来表示 loga b ( a > 0 且 a ¹ 1;b > 0; c > 0 且c ¹ 1)吗？ 类比上述变形过程，由特殊到一般进行推导 设loga b = x ，则a x = b ， 于是logc ax = logc b ，即x log c a = log c b ，则 loga b = log c (log c) (a > 0 ，且a ¹ 1； b > 0 ；c > 0 且c ¹ 1) 对数的换底公式 问题：你可以用自然语言描述吗？ 一个对数的值等于两个同底的对数的商，其中分子是真数的对数， 分母是以原对数的底数为真数的对数。（真数在上去分子，底数在下去分 母）。逆应用时，可以将同底的两个对数的商转化为一个对数值 三 ．应用 举例 思考：能利用lg 2 ，lg 3 表示log2 3 吗？ 可以利用换底公式log2 3 = » 1.585 . 思考： log2 3 = log3 (log3)? (?) 也可以换为以任意大于零且不等于1的实数为底的对数。比如，可 以换位以3为底的对数，看看能得到什么结果？ 应用 1 求值:log2 3 ´ log3 4 ´ log4 5 ´ log5 2 ： 追问：猜想loga b ´logb c ´ log c a =？并证明 你还能得到哪些结论？ 应用 2：在 4.2.1 的问题 1 中，通过指数幂运算， 我们得到 y = 1.11x 的关系，如果求经过多少年 B地 景区的游客人次是 2001 年的 2 倍，该如何计算呢？ 解：在此问题中，其实就是计算 x = log1.11 2 的值。由换底公式，可得 x = log1.11 2 = lg ( l)1 (g) 1 (2)1 利用计算工具，可得x = lg ( l)1 (g)1 (2)1 » 6.64 » 7 由此可得，大约经过 7 年，B 地景区的游客人次就达到 2001 年的 2 倍。 类似地，可以求出游客人次是 2001 年的 3 倍，4 倍，…所需要的年份 应用 2：尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对 地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏 震级 M 之间的关系为lgE = 4.8 +1.5M .2011 年 3 月 11 日，日本东北部海域 发生里氏 9.0 级地震，它所释放出来的能量是 2008 年 5 月 12 日我国汶川 发生里氏 8.0 级地震的多少倍（精确到 1）？ [教师讲解] 思考：本题的研究求解对象是什么?如何将此对象与已知条件建立关系? 答; 这是关于地震的能量与里氏震级之间关系的问题。 本题