18.2.2 菱形 第2课时 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

第十八章 平行四边形 18.2.2 菱形 第2课时 学习目标 1.理解并掌握菱形的定义及其它两个判定方法． 2.运用菱形的判定方法进行有关的论证和计算． 任务一：理解并掌握菱形的定义及其它两个判定方法． 活动1：请解决下列问题，整理归纳菱形的判定方法. (1)运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备哪几个条件？ (2)菱形的性质定理有哪些？写出它们所对应的逆命题，判断这些逆命题 是否成立.（写出已知、求证、画出图形并证明) 1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 2.四条边相等的四边形是菱形． 逆命题: 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 命题1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD. 求证: □ABCD是菱形 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， 又∵AC⊥BD， ∴BD是线段AC的垂直平分线， ∴BA=BC， ∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义). A B C D O 命题2：四条边相等的四边形是菱形． 已知:如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. 证明:∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义). 活动小结 菱形的判定方法如下： （2）判定定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四条边相等的四边形是菱形. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （1）定义法： 练一练 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件， 使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是 ． (只填一个即可) AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC 任务二：运用菱形的判定方法进行有关的论证和计算． 活动：请解答下列问题.(要求：简要说说证明或求解 的思路，小组整理归纳求解过程中用到的性质和方法) (1)如图1，▱ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O， AB=5，AC=8，DB=6.求证：四边形ABCD是菱形． (2)如图2，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，求∠AOF的度数． 图1 图2 (1)如图1，▱ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6.求证：四边形ABCD是菱形． A B C D O 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=4，OB=OD=3. 又∵AB=5，则32＋42=52，即OA2＋OB2=AB2， ∴∠AOB=90°，即AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． （对角线互相垂直的平行四边形是菱形） (2)如图2，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD 交EF于O，求∠AOF的度数． 图2 解：∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF为平行四边形， ∴OA=OD,OE=OF,∠2=∠3, ∵AD是△ABC的角平分线，∠1=∠2, ∴∠1=∠3,∴AE=DE ∴▱AEDF为菱形 (菱形的定义)， ∴AD⊥EF,即∠AOF=90° 活动小结 判定菱形的一般思路： 当涉及菱形的论证和计算时，要根据已知条件灵活选择判定方法，结合等腰 三角形、直角三角形的相关性质，三角形的全等判定等进行计算或证明. 练一练 一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和6，这是一个 特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积． 解：∵平行四边形的两条对角线的长分别是12和 , ∴两条对角线的长的一半分别是6和 ， ∵62+( )2=81=92， ∴两对角线的一半与边长构成的三角形是直角三角形， ∴此平行四边形是菱形，面积= ×12 × = . 1.如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是否 是一个菱形 （填“是”或“不是”），理由是： . 四边相等的四边形是菱形 是 活动探究 课堂总结 当堂检测 学习目标 2.如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求▱ABCD的周长. 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠DAC=∠ACB， 又∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠ACB=∠BAC， ∴平行四边形ABCD为菱形， 又∵AB=2, ∴AD∥BC， ∴AB=BC， ∴四边形ABCD的周长=4×2=8． 活动探究 课堂总结