18.2.1 矩形 第1课时 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

第十八章 平行四边形 18.2.1 矩形 第1课时 学习目标 1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系． 2.掌握矩形的性质及其推论，会进行有关的计算与证明． 任务一：理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系． 活动：请观察平行四边形的移动过程，完成下列问题. (1)当移动到一个角是直角时停止，这个图形有何特点? 它还是平行四边形吗？请举出身边类似图形的例子， 并给矩形下个定义． (2)平行四边形一定是矩形吗?矩形一定是平行四边 形吗?由此你能得出什么结论,请说一说. 新知生成 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)． 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质. 任务二：掌握矩形的性质及其推论，会进行有关的计算与证明. 活动1：请完成下列任务，并整理归纳你得出的结论. (1)任意度量身边一个矩形物体的每个角的度数，如数学书本、课桌等. (2)拿出一张A4纸，分别画出它的两条对角线，再分别量出两条对角线的长度. (3)针对(1)(2)写出你的猜想，并加以验证. 猜想1：矩形的四个角都是直角. 猜想2：矩形的对角线相等. 如图，四边形ABCD为矩形，∠B=90°. 求证：∠B=∠C=∠D=∠A=90°. A B C D 猜想1：矩形的四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D,∠C=∠A, AB∥DC. ∴∠B+∠C=180°. 又∵∠B = 90°, ∴∠C = 90°. ∴∠B=∠C=∠D=∠A =90°. 如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O. 求证：AC=DB. A B C D O 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°, 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. 猜想2：矩形的对角线相等. 思考 如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，在Rt△ABC中，BO是斜边 AC上的中线，BO与AC有什么关系？由此你能得出什么结论？ 由矩形的性质可得OA＝OB＝OC＝OD＝ AC＝ BD， 由此可得，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半. 活动小结 矩形除了具有平行四边形所有性质外，还具有以下特殊性质： 性质1：矩形的四个角都是直角. 性质2：矩形的对角线相等. 推论：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半. A B C D O 活动2：请解决下列问题，简要归纳你用到的性质或方法. (1)如图1,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O， ∠AOB=60°，AB=4，求矩形对角线的长. (2)已知：如图2，矩形ABCD中，E是BC上一点， DF⊥AE于点F，若AE=BC．求证：CE＝EF． A B C D O 图1 图2 (1)如图1,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形对角线的长. A B C D O 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AC 与 BD相等且互相平分， ∴OA = OB. 又∵∠AOB=60°, ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8. 图1 (2)已知：如图2，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，若AE=BC． 求证：CE＝EF． 图2 证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC． ∴∠1=∠2． ∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°． 在△ABE与△DFA中， ∠B=∠DFA ， AE=AD， ∠BEA =∠FAD ， ∴△ABE≌△DFA（AAS）,∴AF=BE,∴EF=EC． 活动小结 在矩形中求线段或证明边、角关系的问题，常常转化为求直角三角形的 边、角或证明两个三角形全等来解决，要注意结合图形，灵活运用矩形的 性质与推论、勾股定理、等腰（边）三角形的性质等，达到计算或证明的目的. 练一练 1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，AD=2，求AB的长．　　　　　 解：在矩形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OB=OD， ∵∠AOD=60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴OD=AD=2， ∴BD=2OD=4， 由勾股定理得，AB= . 1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,以下说法错误的是( ) A.∠ABC=90° B.AC=BD C.OA=OB