16.2 二次根式的乘除-2023-2024学年人教版八年级数学下册分层优化堂堂清

八年级数学下分层优化堂堂清 第16章 二次根式 16.2 二次根式的乘除 学习目标： 1.掌握二次根式的乘除运算法则，会熟练地进行二次根式的乘除运算。 2.掌握积、商的算术平方根的性质，能运用它进行二次根式的化简。 3.理解最简二次根式的概念，能将一个二次根式化为最简二次根式。 一、基础提升 教材核心知识点精讲精练 知识点一、二次根式的乘法法则 1.法则 二次根式乘法法则： 即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 （1） 法则中的被开方数a、b既可以是数，也可以是式子，但必须是非负的。 （2） 如果没有特别说明，本章所有字母表示正数。 （3） 二次根式的结果是一个二次根式或一个有理式。 （4） 法则对几个二次根式相乘同样适用。 （5） 乘法运算律在二次根式中同样适用。 例1-1．下列整数中与的结果最接近的是( ) A.3 B.4 C.9 D.18 例1-2计算 针对练习1 1．估计的值应在( ) A.4.5和5之间 B.5和5.5之间 C.5.5和6之间 D.6和6.5之间 2．已知，则有( ) A. B. C. D. 3．的值是一个整数，则正整数a的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.5 4．计算：_____________. 知识点二、二次根式的乘法法则的逆用 把反过来就得到，即积的算术平方根的性质。 1.用语言描述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积； 2.运用积的算术平方根的性质，可以将二次根式化简。 例2-1．将化成最简二次根式为__________. 针对练习2 1．化简: （1） __________; （2） __________. 2．计算: 答案：原式= 3． 4． 化简: 方法点拨：应用积的算术平方根性质时，先将被开方数化为平方因数与非平方因数的积的形式，再应用二次根式乘法法则的逆用化简。 知识点三、二次根式的除法法则 1. 如果，那么； 2. 语言描述：两个二次根式相除，将它们的被开方数（式）相除，二次根号不变。 （1）法则中的被开方数可以是数也可以是式子，但必须a是非负数，b必须是正数。 （2）进行二次根式相除时，若两个被开方数能够整除，直接应用除法法则进行计算，若两个二次根式不能整除，可以对二次根式进行化简后再相除。 例3-1计算______. 针对练习3 1．___________. 2．已知，则x的值为_____________. 3．计算：__________. 4．计算的结果是( ) A. B.3 C. D. . 解题策略： （1） a是b的倍数或a、b是分数时，常用计算。 （2） a、b中的被开方数含有完全平方数时，先将完全平方数开方，再进行除法运算。 （3） 当根号前含有系数时，应先把根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把所得的商相乘。 知识点四、二次根式除法法则的逆用 1.把 反过来就得到 利用它可以将二次根式化简。 2.商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根； 例4-1将化成最简二次根式是( ) A. B. C. D. 针对练习4 2．若，，则( ) A.2 B.4 C. D. 3．化简的结果为( ) A. B. C. D. 4．化简二次根式得( ) A. B. C. D. . 5．化简：___________. 6．在学完“二次根式的乘除”后，老师给同学们留下这样一道思考题：已知，，求的值. 小刚是这样解的：， 把，代入，得. 显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程. 知识点五、最简二次根式 1. 最简二次根式 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽的因数和因式。 2. 把二次根式化成最简二次根式的一般方法 （1） 将被开方数中能开方开得尽的因数或因式进行开方。 （2） 被开方数是分数或小数：应先将小数化为分数。 （3） 被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式。 （4） 被开方数是多项式的要进行因式分解。 3. 分母有理化 （1） 分母有理化：当分母中含有根式时，可根据分式的基本性质化去分母中的根号，这种化去分母中根号的方法叫做分母有理化。 （2） 去掉分母中根号的方法 ①当分母是或b的形式时，分子分母同乘以 ②当分母是a+时，分子分母同乘以a- ③当分母是 的形式时，分子与分母同乘以. 例5-1下列各式中，属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 针对练习5 1．化简二次根式的正确结果是( ) A. B. C. D. 2．将化成最简二次根式是( ) A. B. C. D. 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D.