第1.3讲 数列之用放缩法和数学归纳法解决数列不等式及数列中的结构不良问题-备战2024年高考数学高频考点必刷题型精讲+精练（新高考通用）

2024年高考数学高频考点必刷题型精讲+精练（新高考通用） 第1.3讲 数列之用放缩法和数学归纳法解决数列不等式及数列中的结构不良问题 ①放缩法Ⅰ—裂项放缩 ②放缩法Ⅱ—等比放缩 ③放缩法Ⅲ—函数放缩 ④放缩法Ⅳ—二项放缩 ⑤数学归纳法 ⑥数列中的结构不良问题 一、常见放缩公式 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． 二、数学归纳法 （1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． （2）运用数学归纳法的步骤与技巧 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 三、数列结构不良问题 题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分． 题型一：放缩法Ⅰ—裂项放缩 【例1】已知数列满足，， （1）求; （2）若数列满足，，求证：． 1.求证 2.已知,设,求证:. 3.求证 【题型技巧】 放缩的时候，保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况. 题型二：放缩法Ⅱ—等比放缩 【例1】证明: 1.已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，证明：． 2.已知函数，数列中，若，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）设数列的前项和为，求证：. 【题型技巧】 所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和 题型三：放缩法Ⅲ—函数放缩 【例1】已知数列 (1)若数列满足,求证:数列是等比数列。 (2)若数列懑足,求证: 1.设数列的前项和为，，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：对一切正整数，有. 2.已知公差不为0的等差数列满足：且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式和前项和； (2)证明不等式且 3.求证：. 4.已知正项数列满足． (1)求证：； (2)求证：． 【题型技巧】 数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n项和与函数的不等关系,即或者数列前n项积与函数的不等关系,即的问题,其中,这里的前n项和与前n项积难求或者是根本无法求.面对这类题时,首先,我们可以将看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对进行变形,使之能求和或者求积. 题型四：放缩法Ⅳ—二项放缩 【例1】已知证明. 1．已知a+b=1，a>0，b>0，求证：. 2．已知：，求证：. 【题型技巧】 题型五：数学归纳法 【例1】已知正项数列满足，. (1)计算,，猜想的通项公式并加以证明； (2)若，求数列的前项和. 一、解答题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项都是正数，且满足：． (1)证明：； (2)求数列的通项公式． 2．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)对于，试比较与的大小. 3．（2022上·上海虹口·高三上外附中校考阶段练习）在各项均不为零的数列中,选取第项、第项,…,第项,其中,．若新数列为等比数列,则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”．已知等差数列,其各项与公差d均不为零． (1)若数列满足（,）．请写出符合条件的所有等比子列; (2)若,数列为的一个长度为m的“等比子列”,其中,公比为q,当q最小时,求的通项公式; (3)若公比为q的等比数列,满足,,(,),证明：数列为数列的“等比子列”． 【题型技巧】 用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节