微专题09 有关函数y=Asin(ωx+φ)中参数ω的求法种种 讲义-2023-2024学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

( 微专题 有关函数 y=Asin(ωx+φ) 中参数 ω 的求法种种 )【原卷版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中ω的求值与范围问题，是高考的重点和热点，主 要考查与三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质，如：周期性，最值(值域)、单调性、 零点等相关的交汇与综合； 1、函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x≥0)表示一个简谐运动 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ _φ_ 2、函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 （1）周期性：f(x)＝A sin (ωx＋φ) 的最小正周期为； 【说明】同理f(x)＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为；y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为； （2）奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)为奇函数； φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数． （3）单调性： 根据y＝sin t的性质研究y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的性质： 由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得严格递增区间， 由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得严格递减区间； （4）对称性： 综上：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心； 【提示】对称中心是点(k∈Z)； 由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴； 【提示】对称轴是直线x＝＋－(k∈Z)； ( 学习笔记 ) 题型1、由函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期性确定ω； 例1、（1）记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T；若<T<π，且y＝f(x)的 图象关于点中心对称，则f 等于 【提示】； 【答案】； 【解析】 （2）已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的函数图象， 如图所示，求该函数的一个解析式； 【说明】在函数y=Asin(ωx+φ)中,周期与ω的值密切相关,所以根据函数的周期,可以由公式 T＝ 来确定ω的值或取值范围；本题注意考查y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的周期性质； 即函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝； 题型2、由函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的值域（最值）确定ω； 例2、（1）若函数f(x)＝sin(ω>0)在上的值域是， ( 学习笔记 )则ω的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2）已知函数f(x)＝sin＋cos(ω>0)，将f(x)图象上所有点的横坐标缩短 到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，若g(x)在上恰有一个最值点， 则ω的取值范围是 【说明】对于涉及三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、 余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围； 题型3、由函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调性确定ω； 例3、（1）已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增， 则ω的取值范围为(　 　) A．　　　　　　 B． C． D． （2）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，f(0)＝且函数f(x)在区间上单调递减， 则ω的最大值为______.____________ ( 学习笔记 ) 【说明】函数y=Asin(ωx+φ)的单调性一方面与ω的正负、ω的值有关；另一方面,单调区间 的长度也与周期有关,而周期的大小由ω决定,因此函数的单调性、单调区间与ω的值密切 相关,根据函数在相应区间上的单调性可以确定ω的值或取值范围；根据正弦函数的单调 递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，如（1）根据函数f(x)＝sin(ω>0) 在区间上单调递增，建立不等式， 即可求ω的取值范围；或思维升华　确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系， 建立不等式，即可求ω的取值范围； 题型4、由函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的零点确定ω； 例4、（1）已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点，则ω的 取值范围是________． （2）将函数f(x)＝cos x的图象先向右平移个单位