微专题04 三角函数的单调性及其应用 讲义-2023-2024学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 ( 微专题 三角函数 的 单调性 及其 应用 ) ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 三角函数的单调性是高考的高频考点，可单独命题，也可与三角函数图象及三角恒等 变换相结合，考查求三角函数的单调区间、由单调区间求参数等，以选择题、填空题为主， 难度中等偏下。应熟练掌握三角函数图象与性质，凸显直观想象和数学运算核心素养； 正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性与单调区间 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R y＝tan x 图象 定义域 R R 单调性 在 (k∈Z)上是严格增函数； 在 (k∈Z)上是减函数 在[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)上是严格增函数； 在[2kπ，(2k＋1)π] (k∈Z)上是严格减函数 在开区间(k∈Z) 上都是严格增函数 题型1、判别三角函数的单调性 例1、（1）已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　 　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 【提示】； 【答案】 【解析】 ( 学习笔记 ) 【说明】判别形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的三角函数单调性时， 要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解；但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为 正数，防止把单调性弄错； 题型2、已知三角函数解析式用整体代换法求单调区间 例2、（1）求函数y＝3tan的单调区间； 【说明】该复合函数由：递增函数m(x)=x－与y＝tanm合成； （2）求函数y＝3tan的单调区间． （3）求函数y＝lgtan x的单调区间． 【说明】1、求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 （1）若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想， 令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可． ( 学习笔记 )（2）若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)] ＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2、已知三角函数解析式用整体代换法求单调区间；整体代换法： 求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时， 要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0， 可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错； 题型3、已知三角函数解析式用图象法求单调区间 例3、（1）y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　 　) A． B．[0，π] C． D． （2）函数y＝|tanx|的单调递减区间为______________________ 【说明】已知三角函数解析式用图象法求单调区间：画出三角函数的图象， 根据图象观察单调区间； 题型4、根据单调性求参数的值 例4、（1）若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上 单调递减，则ω＝________. ( 学习笔记 )（2）若函数f(x)＝2·sin ωx cos ωx＋2sin 2ωx＋cos 2ωx在区间上 单调递增，则正数ω的最大值为(　　 ) A． B． C． D． 【说明】求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝A sin (ωx＋φ)形式，再求y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数； 题型5、根据单调性求参数的取值范围 例5、（1）已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． . （2）已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________________________ ( 学习笔记 )题型6、三角函数的单调性与图像对称性的交汇 例6、函数f(x)＝sin (ω＞0)在上单调递增，且图象关于 直线x＝－π对称，则ω的值为_____________________________ 题型7、三角函数的单调性与最值的自然结合 例7、已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1． （1）当x∈时，求