微专题03 三角函数的奇偶性及其应用 讲义-2023-2024学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 ( 微专题 三角函数 的 奇偶性 及其 应用 ) ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 1、判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(－x)的关系． 2、对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． 3、正弦函数、余弦函数、正切函数的奇偶性 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R y＝tan x 图象 定义域 R R 奇偶性 奇函数， 图象关于原点对称 偶函数， 图象关于y轴对称 奇函数， 图象关于原点对称 题型1、判别三角函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)＝coscos(π＋x)； （2）f(x)＝； （3）f(x)＝lg(sinx＋)； （4）f(x)＝. 【提示】； 【解析】 ( 学习笔记 ) 【说明】判断三角函数奇偶性的步骤、方法，与判断函数奇偶性的类似. 题型2、结合三角函数的奇偶性识图 例2、（1）函数f(x)＝ln|x|·sinx的部分图象大致为 (　　) A B C D （2）函数f(x)＝cosx(其中e为自然对数的底数)的图象大致形状是 (　　) A B 　 C D 题型3、依据三角函数的奇偶性求参数 例3、（1）函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)是偶函数的充要条件是(　　) A. φ＝kπ＋，k∈Z B. φ＝2kπ＋，k∈Z C. φ＝kπ＋，k∈Z D. φ＝2kπ＋，k∈Z ( 学习笔记 )（2）若将函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位长度所得到 的图象关于原点对称，则φ＝__________. 【说明】已知三角函数的奇偶性求参数时， 可直接由y＝Asinωx是奇函数，y＝Acosωx是偶函数求解. 如果y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，则φ＝kπ＋，k∈Z； y＝Acos(ωx＋φ)是偶函数，则φ＝kπ，k∈Z. 题型4、三角函数的奇偶性与函数性质的交汇 例4、（1）若函数y＝f(x)是周期T＝2的周期函数，也是奇函数，则f(2 018)的值是多少？ （2）已知函数f(x)＝的定义域为R，则(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．f(x)既是奇函数又是偶函数 D．f(x)既不是奇函数又不是偶函数 （3）若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f＝1，求f的值． （4）已知函数f(x)＝. ①求函数f(x)的定义域； ②用定义判断函数f(x)的奇偶性； ③在[－π，π]上作出函数f(x)的图象． ( 学习笔记 ) 【说明】判断三角函数奇偶性的步骤、方法，与判断函数奇偶性的类似. 已知三角函数的奇偶性求参数时，可直接由y＝Asinωx是奇函数，y＝Acosωx是偶函数求解. 如果y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，则φ＝kπ＋，k∈Z；y＝Acos(ωx＋φ)是偶函数，则φ＝kπ，k∈Z. 与三角函数奇偶性有关的结论 （1）要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)； （2）要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)； （3）要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)； （4）要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)． ( 学习笔记 ) 1、函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为 2、函数f(x)＝sin的奇偶性为 3、若函数f(x)＝sin (φ∈[0,2π])是偶函数，则φ等于 4、若函数f(x)＝sin