微专题02 三角函数的值域（最值）及其求法 讲义-2023-2024学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

( 微专题 三角函数 的 值域（最值） 及其求法 )【解析版】 ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性， 贯穿整个高中数学的始终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗； 三角函数的值域与最值问题通常采用的方法有：根据定义域依据不等式性质，利用函数 的单调性，代换法、反函数法、利用函数的有界性、二次函数区间上的最值、转化与划归 的思想方法等；对于复合函数，可根据“同增异减”判断函数的单调性，然后解之； 函数性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z} 图像(一 个周期) 值域 [－1，1] [－1，1] R 最值 (k∈Z) 当x＝＋2kπ时，ymax＝1；　 当x＝－＋2kπ时，ymin＝－1　 当x＝2kπ时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π时，ymin＝－1 无 题型1、利用三角函数式的性质求值域（最值）； 例1、（1）函数y＝tanx，x∈的值域是________________________________ 【提示】； 【答案】； 【解析】 ( 学习笔记 )（2）已知函数f(x)＝1＋2sin，x∈； ①求f(x)的最大值和最小值； ②若不等式|f(x)－m|＜2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围． 【说明】求值域时，①利用sinx、cosx的有界性求值域（最值）；②利用三角函数的单调性 求值域（最值）； 题型2、把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式求值域（最值）； 例2、（1）函数f(x)＝cos x·sin的最大值是(　 ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 （2）已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－，则函数f(x)的值域为(　 ) A． B． C． D． 题型3、把sin x或cos x 或tanx看作一个整体，转换成二次函数求值域（最值）； 例3、（1）求函数y＝－cos2x＋3cosx的最大值； 【错解】　∵y＝－cos2x＋3cosx＝－2＋，∴ymax＝. 【错因分析】　错解中忽略了余弦函数的值域，即cosx≠. 【正解】　 （2）若x∈，求函数y＝tan2x＋2tanx＋2的最值及相应的x的值． 题型4、利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域； ( 学习笔记 )例4、（1）函数f(x)＝sin xcos x＋sin的值域为_______________________________ （2）函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________． 【说明】本题利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域； 题型5、复合三角函数的值域（最值）的求法； 例5、函数的值域是（　　） A． B． C． D． ( 学习笔记 )题型6、依据三角函数的值域（最值）求参数 例6、已知函数f(x)＝asinx＋b的最大值为2，最小值为0，求a，b的值． 题型7、结合三角变换求代数式的最值 例7、已知sin x＋cos y＝，则sin x－sin2y的最大值为________． 题型8、结合三角变换求代数式的取值范围 例8、已知，则的取值范围是______. ( 学习笔记 )题型9、三角函数的值域（最值）与实际应用的交汇； 例9、11．某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h) 的变化近似满足函数关系：f(t)＝12－3sin，t∈[0,24)． （1）求大棚这一天的最大温差； （2）若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5 ℃，若种植这种蔬菜， 则在哪段时间大棚需要降温？ 1、求解三角函数的值域(最值)的常见类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式， 再求值域(最值)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的 二次函数求值域(最值)． (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x， 化为关于t的二次函数求值域(最值)． 2、结合求函数值域的通法