17.2　勾股定理的逆定理教案2023-2024学年人教版八年级数学下册

172勾股定理的逆定理 教师备课素材示例 一、新课导入建议与示例》 ●类比导入问题1：你能说出勾股定理吗？指出定理的题设和结论. 题设：如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c,结论：a2十b2=c2 问题2：你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗？ 师生共同得出新的命题，教师指出其为勾股定理的逆命题. 追问：能否把勾股定理的逆命题作为判定直角三角形的依据呢？本节课我们一起米研究这个间题， 【教学与建议】教学：通过复习勾股定理，交换题设和结论，自然合理地引出勾股定理的逆定理，建议：教 学时，应该多让学生交流讨论前面学习逆定理的经验 ●悬念激趣同学们，你们是如何画直角的？想知道古埃及人是如何画直角的吗？ (1)K13) (12) (2 (11) 、(10) (3H 、(9】 (4)北 (5)(6)(7)(8) 古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结 间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形.你认为这个三角形是直角三角形吗？ 操作：以小组为单位动手操作，观察，做出合理的推断. 【教学与建议】教学：介绍前人经验，启发思考，动手操作，锻炼了学生动手实践、观察探究的能力，建议： 小组为单位动手操作，讨论交流判断结果 二、命题热点分析与示例 ©命题角度1利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 用勾股定理的逆定理判定直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方即可. 【例1】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(4) A.7,24,25B.1,2,3C.5,6,7D.4,8,13 【例2】已知M,N是线段AB上的两点，AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心，AN长为半径画弧：再以 点B为圆心，B卧M长为半径画弧，两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是(B) A.锐角三角形B.直角三角形C.纯角三角形D,等腰三角形 ©命题角度2利用勾股定理及其逆定理解决实际问题 建立数学模型，灵活运用勾股定理的逆定理构造直角三角形，然后在直角三角形中运用勾股定理或逆定理求 出要求的线段长 【例3】如图，AD=8,CD=6,∠ADC=90°，AB=26,BC=24,求该图形的面积. D 解：连接AC在R1△ACD中，AD=8,CD=6,∴AC=AD2十CD2=10.在△ABC中，AC+BC2=102+242 =262=AB2,∴.△4BC为直角三角形，∴.图形面积为S△4Bc-S△4D=12×10×24-12×6×8=96 ©命题角度3判断勾股数 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.必须满足两个条件：①满足a2十b2=c2;②都是正整 数，两者缺一不可 【例4】有下列4组数：①7,24,25；②8,15,19；③0.6,0.8,1.0：④3n,4n,5n(n>1且n为自然数).其 中，勾股数有①④· 【例5】将勾股数3,4,5扩大2倍，3倍，4倍，，可以得到勾股数6,8,10：9,12,15；12,16,20：， 则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：5,12,13： 7,24,25(答案不唯一） ©命题角度4勾股定理逆定理与配方法、因式分解法的综合问题 某些等式可以通过配方法或者因式分解法变形得出a,b,c的值，然后再根据勾股定理的逆定理判断以a, b,C为边长的三角形的形状， 【例6】如果三角形的三边a,b,c满足(a+2b-60)2+1b一18+30一c=0,则此三角形的形状是直角三角 形 【例7】已知a,b,c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC的形状. 解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c, ∴.a2-6a+b2-8b+c2-10c+50=0,即(a-3)2+(6-42+(c-5)2=0, .4-3=0,b-4=0,c-5=0,解得a=3,b=4,c=5 ,a2+b2=32+42=52=c2,∴.△ABC是直角三角形， ©命题角度5勾股定理逆定理的综合应用 解决此类问题一般将条件集中在一个直角三角形中，构造全等.利用勾股定理的逆定理使问趣得到解决. >☑ B 【例8】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角 形PCQ,∠PCQ=90°，则PA2,PB2,PC2三者之间的数量关系是P42+PB2=2PC2 【例9】如图，在△ABC中，AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6 (1)求证：BA⊥AD: (2)求BC的长. 解：(I)延长AD到点E,使DE=AD连接CE ,点D是BC的中点，∴BD=CD. 在△ABD和△ECD中，BD=CD,∠ADB=∠EDC,AD=DE,.△