2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）（新高考九省联考题型）

新高考 秘密★考试结束前 2024年普通高等学校招生全国统一考试 数学 模拟试卷（二） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则 A. B. C. D. 2．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是 A. B． C． D． 3．若直线与直线互相垂直，则的值为 A． B． C．0或 D．1或 4．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则= A．30 B．29 C．28 D．27 5．如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（       ） A． B． C． D． 6．某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有 A．18种 B．36种 C．60种 D．72种 7．双曲线C：的左、右焦点分别是，，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，若C上一点T满足，则T到C的两条渐近线距离之和为 A. B. C. D. 8．设函数 ，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在有且仅有3个极大值点②在有且仅有2个极小值点③在单调递增④的取值范围是，其中所有正确结论的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是 A． B．若，则 C． D．若，且，则△为等边三角形 10．设a为常数，，，则 A. B. 恒成立 C. D. 满足条件的不止一个 11．如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是 A．直线与直线相交 B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点 C．不存在点，使得直线与直线所成角为 D．三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则的值为 . 13．已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为__________时，圆锥的体积最大，最大值为__________. 14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如左图)．已知正方形ABCD的边长为4，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点(如右图)．若点P在四个半圆的圆弧上运动，则向量AC·OB的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数f(x)＝2(x－1)ex． （Ⅰ）若函数f(x)在区间(a，＋∞)上单调递增，求f(a)的取值范围； （Ⅱ）设函数g(x)＝ex－x＋p，若存在x0∈[1，e]，使不等式g(x0)≥f(x0)－x0成立，求实数p的取值范围． 16．（15分） 人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示： ChatGPT应 用的广泛性 服务业就业人数的 合计 减少 增加 广泛应用 60 10 70 没广泛应用 40 20 60 合计 100 30 130 （Ⅰ）根据小概率值的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？ （Ⅱ）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求的分布列和均值. 附：，其中. 0.1 0.05