6.2.4 平面向量的数量积（精练，8题型）-2023-2024学年高一数学同步讲义与对点练（人教A版2019必修第二册）

6.2.4 平面向量的数量积 题型一 平面向量数量积的概念 题型二 平面向量数量积的运算 题型三 向量模的相关计算 题型四 向量的夹角问题 题型五 向量的垂直问题 题型六 投影向量及其应用 题型七 利用向量数量积判断平面图形形状 题型八 向量数量积中的最值（取值范围）问题 题型一 平面向量数量积的概念 1．（2022上·河北邯郸·高二校考期中）若均为非零向量，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2023上·山东青岛·高三统考期中）已知向量，是非零向量，设甲：向量，共线；乙：关于x的方程有实数根；则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 3．（2023下·河南焦作·高一焦作市第一中学校考阶段练习）下列四个命题中，正确的个数是（    ） ①；②“”等价于“存在实数，使得”；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2023上·四川成都·高二成都七中校考期中，多选）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 5．（2023·全国·高二专题练习）两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 （1）与的夹角是锐角 0且与不共线； （2）与的夹角是钝角 0且与不共线. 题型二 平面向量数量积的运算 1．（2023上·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）已知向量与的夹角为，，，则 ． 2．（2023下·福建泉州·高一校联考期中）已知，与的夹角为，则 . 3．（2023下·上海浦东新·高一校考期中）设向量满足，，则 ． 4．（2023下·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）向量，满足，，，那么 . 5．（2023下·北京东城·高一统考期末）在边长为的正方形中，为中点，则 ． 6．（2023下·广东深圳·高二校考期末）已知平面向量，的夹角为，且，． (1)； (2)求； (3)若与垂直，求实数的值． 题型三 向量模的相关计算 1．（2024上·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期末）已知单位向量与单位向量的夹角为，则（ ） A．2 B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）若向量满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024上·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）已知向量满足，则 . 4．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为 . 5．（2023上·广东佛山·高二佛山市第四中学校考开学考试）已知C是平面上一点，，． (1)若，求的值； (2)若，求的最大值． 题型四 向量的夹角问题 1．（2024·福建厦门·统考一模）已知，为单位向量，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·河南·高三安阳县高级中学校联考阶段练习）已知非零向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·陕西渭南·高二统考期末）已知向量，，，，则与的夹角为 ． 4．（2024·全国·高二竞赛）已知向量，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则的取值范围为 ． 题型五 向量的垂直问题 1．（2024上·辽宁·高三校联考期末）已知是两个单位向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2024·全国·模拟预测）若都为非零向量，且，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·高一单元测试）已知向量、为单位向量，且，则 . 4．（2022下·北京昌平·高一统考期末）已知向量，满足，，，则 ． 5．（2021下·吉林长春·高一长春市第二十中学校考期末）已知单位向量的夹角为.与垂直，则 . 6．（2024·全国·模拟预测）已知向量的夹角为，，则 ， ． 题型六 投影向量及其应用 1．（2024上·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）若向量满足，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知，，与同向的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（    ） A．60° B．120° C．135° D．150° 3．（2024·广东佛山·统考一模）对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（