6.2.4 平面向量的数量积（讲义，5考点+12题型）-2023-2024学年高一数学同步讲义与对点练（人教A版2019必修第二册）

6.2.4 平面向量的数量积 知识点一 两向量的夹角 定义 已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角 图示 符号 特殊情况 向量与同向 向量与反向 向量与垂直，记作 范围 微点拨： ①两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. ②求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． ③特别地，与的夹角为，与(是非零常数)的夹角为，当时，；当时，． 知识点二 向量的数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 微点拨： ①向量的数量积的运算结果是数量，只有大小，没有方向；向量的线性运算结果是向量，既有大小又有方向． ②数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写，必须写成“”的形式. ③向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. 知识点三 投影与投影向量 设是两个非零向量，，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为,得到，称这种变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量 微点拨： ①在上的投影向量可能与同向，可能反向，也可能为，它的方向取决于角的范围． ②向量在向量上的投影向量是与向量平行的向量． ③投影向量的求法：任意的非零向量在另一非零向量上的投影向量等于(为向量的夹角，为与同向的单位向量)．. 知识点四 向量数量积的性质和运算律 1、向量数量积的性质 设是两个非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 （1） （2） （3）当向量与同向时，；当向量与反向时，； 特别地，或. （4） （5） 微点拨： ①若，则或或． ②由可知，两向量的夹角是钝角或；由可知，两向量的夹角是锐角或． ③当向量同向时，；当向量反向时，. 2、向量数量积的运算律 对于向量和实数，有 （1）（交换律） （2）（结合律） （3）（分配律） 3、向量数量积运算的常用公式 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质． 多项式乘法 向量数量积 考点一 向量数量积的运算 求平面向量数量积的方法 (1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. (2)利用常用公式求解 (3)利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解． 题型一 向量的数量积的简单计算 1．（2023下·陕西咸阳·高一校考阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023下·河南·高一校联考阶段练习）已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 3．（2022上·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 4．（2024·全国·模拟预测）已知单位向量满足，则（    ） A． B． C．0 D． 5．（2023下·河北邢台·高一统考期末）已知，，则 . 题型二 平面几何图形中的向量数量积的计算 1．（2024·全国·高三专题练习）在中，，若，，，则（    ） A．24 B．12 C． D． 2．（2023上·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）在边长为6的菱形ABCD中，，，则=（ ） A．15 B． C．30 D．20 3．（2023下·山东东营·高一统考期末）如图，直角梯形中，，，，，，则 ．    4．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．16 考点二 向量数量积的应用 题型一 向量的垂直问题 提分笔记 两个非零向量的数量积为0是这两个向量互相垂直的充要条件．这一充要条件是解决向量垂直问题的重要工具，应用这一工具时需注意整体意识的应用，如将向量的线性组合视为一个向量，同时注意公式的应用． 1．（2022下·高一单元测试）下列向量一定与向量垂直的是（    ） A． B． C． D． 2．（202