浙江省台州市2023年普通高中数学竞赛试题

2023年台州市普通高中数学竞赛试题 1、 填空题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1. 若集合A=[1,+∞)，B={},则A∩B=_______. 2. 若复数(i是虚数单位)，则|z|=_______ 3. 已知正 中, . 若点 满足 , 则 的取值范围是 4. 已知对 , 有 . 若 表示实数 的整数部分, 则 5. 已知 是经过点 且斜率为 的直线, 交椭圆 于点 M是线段 的中点, 则椭圆 的离心率为 6. 若关于 的方程 有 4 个不同的实根, 则 的取值范围为 7. 已知数列 满足 . 若 , 则 . 8. 已知正方体 , 直线 经过点 . 若直线 与 所成角为 , 且直线 与面 所成角为 , 则这样的直线 的条数是 9. 函数 的最小值为 10. 已知 . 若 是完全平方数, 则 的值为 2、 解答题（本大题共5小题，第11-12每小题15分，第13-15每小题20分，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11. 求函数 的值域. 12. 已知正数数列 中, , 且 . (I) 求数列 的通项公式; (II) 证明: . 13. 已知 是双曲线 上的一点, 是 关于原点 的对称点. 若以 为圆心, 为半径作圆交双曲线 于点 及 , 证明: 是正三角形. 14. 证明：任意一个四面体总有一个顶点, 由这个顶点出发的三条棱可以构成一个三角形的三边. 15. 已知 , 求代数式 的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$