第六章 实数单元复习-2023-2024学年七年级数学下学期同步备课讲义（人教版）

第六章 实数单元复习 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以 内完全立方数(及对应的负整数)的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。 3.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。 4.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。 5.会求实数的相反数和绝对值。 6.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 题型一 求一个数的算术平方根和平方根 【例题】下列说法正确的是（　　） A．0.2是的算术平方根 B．是25的平方根 C．的算术平方根是9 D．16的平方根是4 【即学即练】下列说法正确的是（    ） A．的平方根是2 B．的算术平方根是2 C．1的平方根是1 D．0的平方根与算术平方根都是0 题型二 根据算术平方根的非负性求解 【例题】若，其中，均为整数，则 ． 【即学即练1】已知：，那么的值为 ． 【即学即练2】已知，则的值是 ． 题型三 已知一个数的平方根，求这个数 【例题】解答题． (1)一个正数a的平方根是与，则a是多少？ (2)已知a、b满足，求的平方根 【即学即练1】已知某正数的两个平方根分别是和，b的算术平方根是4，求的平方根． 【即学即练2】已知的平方根为，且的平方根为，求的算术平方根． 题型四 利用平方根和立方根解方程 【例题】解方程： (1)； (2). 【即学即练1】求符合条件的x的值． (1) (2). 【即学即练2】解方程： (1)； (2)． 题型五 求一个数的立方根 【例题】 的算术平方根是7；的立方根是 ；的平方根是 ． 【即学即练1】的立方根与的算术平方根之和是 ． 【即学即练2】若，，，则 ． 题型六 平方根和立方根的综合应用 【例题】已知的平方根是，的立方根是3． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 【即学即练1】已知正数x的两个不同的平方根是和，y的立方根是，求的值． 【即学即练2】已知的平方根是，2是的立方根． (1)求a，b的值． (2)求满足等式的x的值． 题型七 实数的性质 【例题】下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若互为相反数，则；③若a为任意有理数，则；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练1】如果，那么代数式的值是（    ） A． B．2023 C． D．1 【即学即练2】下列说法： ①一个无理数的相反数一定是无理数； ②一个有理数与一个无理数的和或差或积一定是无理数； ③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算； ④实数的倒数是． 其中，正确的说法有（ ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 题型八 实数的混合运算 【例题】计算： (1)； (2)． 【即学即练1】计算： 【即学即练2】计算： 【探究一】实数的综合运用 新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【探究二】新定义下的实数运算 对于任意一个四位自然数m，若满足百位上的数字与十位上的数字之和等于千位上的数字与个位上的数字之差的两倍，则称这个数为“富贵数”．将“富贵数”m的千位上的数字与个位上的数字交换位置，百位上的数字与十位上的数字交换位置，得到新数，记．如：满足，则是一个“富贵数”，． (1)判断和是不是“富贵数”； (2)证明：对任意一个“富贵数”m，其都能被11整除； (3)已知某“富贵数”s，满足条件（且均为整数）．记，若能被7整除，求出所有满足条件的s的值． 【探究三】与实数有关的规律探究 已知一列数：，，，，…，满足对为一切正整数都有 ，，， ，成立，且． (1)求，的值； (2)猜想第个数（用表示）； (3)求的值． 【探究四】无理数大小的估算 单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2